Ley de los cuadrados

La ley de los cuadrados es un teorema que se refiere a las líneas de transmisión . Establece que la corriente inyectada en la línea por un escalón de voltaje alcanza un máximo en un tiempo proporcional al cuadrado de la distancia a lo largo de la línea. El teorema se debe a William Thomson , el futuro Lord Kelvin. La ley tuvo cierta importancia en relación con los cables telegráficos submarinos .

Para un aumento escalonado del voltaje aplicado a una línea de transmisión , la ley de los cuadrados se puede enunciar de la siguiente manera:

${\displaystyle t_{\text{máx}}={1 \sobre 2}RCx^{2}}$

dónde,

${\displaystyle t_{\text{máx}}}$es el momento en el que la corriente en la línea alcanza un máximo

${\estilo de visualización R}$es la resistencia por metro de la linea

${\estilo de visualización C}$es la capacitancia por metro de la linea

${\estilo de visualización x}$es la distancia en metros desde la entrada de la línea. ^[1]

La ley de los cuadrados no se limita únicamente a las funciones escalonadas . También se aplica a una respuesta de impulso o a una función rectangular , que son más relevantes para la telegrafía . Sin embargo, el factor multiplicativo es diferente en estos casos. Para un impulso es 1/6 en lugar de 1/2 y para pulsos rectangulares es algo intermedio dependiendo de su longitud. ^[2]

La ley de los cuadrados fue propuesta por William Thomson (que más tarde se convertiría en Lord Kelvin) en 1854 en la Universidad de Glasgow . Recibió algunas aportaciones de George Gabriel Stokes . Thomson y Stokes estaban interesados ​​en investigar la viabilidad del cable telegráfico transatlántico propuesto . ^[3]

Thomson construyó su resultado por analogía con la teoría de transferencia de calor de Joseph Fourier (la transmisión de un paso eléctrico a lo largo de una línea es análoga a la aplicación repentina de una temperatura fija en un extremo de una barra de metal). Descubrió que la ecuación que gobierna el voltaje instantáneo en la línea está dada por ^[4].${\displaystyle v(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\parcial ^{2}v}{\parcial x^{2}}}=RC{\frac {\parcial v}{\parcial t}}.}$

De ahí derivó la ley de los cuadrados. ^[5] Aunque la descripción de Thomson de una línea de transmisión no es del todo incorrecta y es perfectamente adecuada para las bajas frecuencias implicadas en un cable telegráfico victoriano , no es la imagen completa. En particular, Thomson no tuvo en cuenta la inductancia (L) de la línea ni la conductividad de fuga (G) del material aislante. ^[6] La descripción completa la dio Oliver Heaviside en lo que ahora se conoce como las ecuaciones del telegrafista . ^[7] La ​​ley de los cuadrados se puede derivar de un caso especial de las ecuaciones del telegrafista, es decir, con L y G fijados a cero. ^[8]

El resultado de Thomson es bastante contraintuitivo y provocó que algunos no lo creyeran. El resultado que la mayoría de los ingenieros de telégrafos esperaban era que el retraso en el pico sería directamente proporcional a la longitud de la línea. La telegrafía estaba en sus inicios y muchos ingenieros de telégrafos eran autodidactas. Tendían a desconfiar de los académicos y a confiar en cambio en la experiencia práctica. ^[9] Incluso en 1887, el autor de una carta a The Electrician deseaba "...protestar contra la creciente tendencia a introducir las matemáticas en todo". ^[10]

Un oponente de Thomson fue de particular importancia, Wildman Whitehouse , quien desafió a Thomson cuando presentó el teorema a la Asociación Británica en 1855. ^[11] Tanto Thomson como Whitehouse estaban asociados con el proyecto del cable telegráfico transatlántico, Thomson como director no remunerado y asesor científico, y Whitehouse como electricista jefe de la Atlantic Telegraph Company . ^[12] El descubrimiento de Thomson amenazó con descarrilar el proyecto, o al menos, indicó que se necesitaba un cable mucho más grande (un conductor más grande reducirá y un aislante más grueso reducirá ). ^[13] Whitehouse no tenía una educación matemática avanzada (era médico de formación) y no entendía completamente el trabajo de Thomson. ^[14] Afirmó que tenía evidencia experimental de que Thomson estaba equivocado, pero sus mediciones estaban mal concebidas y Thomson refutó sus afirmaciones, mostrando que los resultados de Whitehouse eran consistentes con la ley de los cuadrados. ^[15]${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización C}$

Whitehouse creía que se podría hacer que un cable más delgado funcionara con una bobina de inducción de alto voltaje . La Atlantic Telegraph Company, apurada por seguir adelante con el proyecto, optó por la solución más barata de Whitehouse en lugar de la de Thomson. ^[16] Después de que se colocó el cable, sufrió mucho de retardo, un efecto que había sido notado por primera vez por Latimer Clark en 1853 en el cable submarino anglo-holandés de la Electric Telegraph Company . El retardo causa un retraso y un alargamiento de los pulsos telegráficos, este último como si una parte del pulso se hubiera retardado más que la otra. El retardo puede hacer que los pulsos telegráficos adyacentes se superpongan haciéndolos ilegibles, un efecto que ahora se llama interferencia entre símbolos . Obligó a los operadores de telégrafo a enviar más lentamente para restaurar un espacio entre pulsos. ^[17] El problema era tan grave en el cable del Atlántico que las velocidades de transmisión se midieron en minutos por palabra en lugar de palabras por minuto . ^[18] En un intento por superar este problema con un voltaje cada vez más alto, Whitehouse dañó permanentemente el aislamiento del cable y lo dejó inutilizable. Fue despedido poco después. ^[19]

Algunos comentaristas interpretaron exageradamente la ley de los cuadrados y concluyeron que implicaba que la " velocidad de la electricidad " depende de la longitud del cable. Heaviside, con su típico sarcasmo, en un artículo publicado en The Electrician, refutó esta afirmación:

¿Es posible concebir que la corriente, cuando se dispone a ir, por ejemplo, a Edimburgo, sepa adónde va, cuánto tiempo le queda por recorrer y dónde tiene que detenerse, de modo que pueda ajustar su velocidad en consecuencia? Por supuesto que no...

—Oliver  Heaviside, 1887 ^[20]

Tanto la ley de los cuadrados como el retardo diferencial asociado a ella pueden explicarse con referencia a la dispersión . Este es el fenómeno por el cual diferentes componentes de frecuencia del pulso telegráfico viajan por el cable a diferentes velocidades dependiendo de los materiales y la geometría del cable. ^[21] Este tipo de análisis, que utiliza el dominio de la frecuencia con análisis de Fourier en lugar del dominio del tiempo , era desconocido para los ingenieros telegráficos de la época. Probablemente negarían que una cadena regular de pulsos contuviera más de una frecuencia. ^[22] En una línea dominada por la resistencia y la capacitancia, como las de baja frecuencia analizadas por Thomson, el cuadrado de la velocidad, , de un componente de frecuencia de onda es proporcional a su frecuencia angular , de modo que, ${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización \omega}$

${\displaystyle u^{2}={\frac {2\omega }{CR}}.}$

Consulte Constantes de línea primaria § Par trenzado y Constantes de línea primaria § Velocidad para obtener la derivación de esto. ^[23]

De esto se desprende que los componentes de frecuencia más alta viajan más rápido, alargando progresivamente el pulso. A medida que los componentes de frecuencia más alta "se alejan" del pulso principal, los componentes de baja frecuencia restantes, que contienen la mayor parte de la energía, se van desplazando progresivamente más lentamente como grupo. ^[24]

• Connor, FR, Transmisión de ondas , Edward Arnold, 1972 ISBN  0713132787 .
• Hunt, Bruce J., Los maxwellianos , Cornell University Press, 2005 ISBN 0801482348 . 
• Lindley, David, Grados Kelvin: Una historia de genio, invención y tragedia , Joseph Henry Press, 2004 ISBN 0309167825 . 
• Lundheim, L., "Sobre Shannon y la fórmula de Shannon", Telektronikk , vol. 98, no. 1, págs. 20–29, 2002.
• Nahin, Paul J., Oliver Heaviside: La vida, obra y época de un genio eléctrico de la era victoriana , Johns Hopkins University Press, 2002 ISBN 0801869099 . 
• Nahin, Paul J., Transitorios para ingenieros eléctricos: análisis elemental de circuitos conmutados en los dominios de la transformada de tiempo y de Laplace (con un toque de MATLAB) , Springer International Publishing, 2018, ISBN 9783319775982 . 
• Ruddock, IS, "Lord Kelvin", cap. 1 en, Collins, MW; Dougal, RC; Koenig, Cs; Ruddock, IS (eds), Kelvin, Termodinámica y el mundo natural , WIT Press, 2015 ISBN 1845641493 . 
• Schiffer, Michael B., Luchas de poder: Autoridad científica y la creación de electricidad práctica antes de Edison , MIT Press, 2008 ISBN 9780262195829 . 
• Tagg, Christopher, "Teoría del solitón en la comunicación óptica", págs. 87–88 en, Annual Review of Broadband Communications , Consorcio Internacional de Ingeniería, 2005 ISBN 1931695385 .