Representación de pastel de capas

En matemáticas , la representación en capas de una función medible de valor real no negativo${\displaystyle f}$definido en un espacio de medidas${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {A}},\mu)}$es la fórmula

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }1_{L(f,t)}(x)\,\mathrm {d} t,}$

a pesar de${\displaystyle x\in \Omega }$, dónde${\displaystyle 1_{E}}$denota la función indicadora de un subconjunto${\displaystyle E\subseteq \Omega }$y${\displaystyle L(f,t)}$denota el conjunto de supernivel (estricto) :

${\displaystyle L(f,t)=\{y\in \Omega \mid f(y)\geq t\}\;\;\;{{\text{o}}\;L(f,t)=\{y\in \Omega \mid f(y)>t\}}.}$

La representación del pastel de capas se deduce fácilmente de la observación de que

${\displaystyle 1_{L(f,t)}(x)=1_{[0,f(x)]}(t)\;\;\;{{\text{o}}\;1_{L(f,t)}(x)=1_{[0,f(x))}(t)}}$

donde cualquiera de los integrandos da la misma integral:

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{f(x)}\,\mathrm {d} t.}$

La representación de pastel de capas toma su nombre de la representación del valor${\displaystyle f(x)}$como la suma de las contribuciones de las "capas"${\displaystyle L(f,t)}$: "capas"/valores${\displaystyle t}$abajo${\displaystyle f(x)}$contribuyen a la integral, mientras que los valores${\displaystyle t}$arriba${\displaystyle f(x)}$No lo hagas. Es una generalización del principio de Cavalieri y también se conoce con este nombre. ^{[ 1 ] : cor. 2.2.34}

La representación de capas se puede utilizar para reescribir la integral de Lebesgue como una integral de Riemann impropia . Para el espacio de medidas,${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {A}},\mu)}$, dejar${\displaystyle S\subseteq \Omega }$, ser un subconjunto medible (${\displaystyle S\in {\mathcal {A}})}$y${\displaystyle f}$una función medible no negativa. Comenzando con la integral de Lebesgue y luego expandiendo${\displaystyle f(x)}$Luego, intercambiando el orden de integración (véase el teorema de Fubini-Tonelli ) y simplificando en términos de la integral de Lebesgue de una función indicadora , obtenemos la integral de Riemann :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{S}f(x)\,{\text{d}}\mu (x)&=\int _{S}\int _{0}^{\infty }1_{\{x\in \Omega \mid f(x)>t\}}(x)\,{\text{d}}t\,{\text{d}}\mu (x)\\&=\int _{0}^{\infty }\!\!\int _{S}1_{\{x\in \Omega \mid f(x)>t\}}(x)\,{\text{d}}\mu (x)\,{\text{d}}t\\&=\int _{0}^{\infty }\!\!\int _{\Omega }1_{\{x\in S\mid f(x)>t\}}(x)\,{\text{d}}\mu (x)\,{\text{d}}t\\&=\int _{0}^{\infty }\mu (\{x\in S\mid f(x)>t\})\,{\text{d}}t.\end{aligned}}}$

Esto puede usarse a su vez para reescribir la integral para la norma p del espacio L ^p , para${\displaystyle 1\leq p<+\infty }$:

${\displaystyle \int _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)=p\int _{0}^{\infty }s^{p-1}\mu (\{x\in \Omega$ :|f(x)|>s\})\mathrm {d} s,}

lo cual se deduce inmediatamente del cambio de variables.${\displaystyle t=s^{p}}$en la representación de pastel de capas de${\displaystyle |f(x)|^{p}}$Esta representación puede utilizarse para demostrar la desigualdad de Markov y la desigualdad de Chebyshev .

• Reordenamiento decreciente simétrico

• Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski" . Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (electrónico). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .
• Lieb, Elliott ; Loss, Michael (2001). Análisis . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol.  14 (2.ª  ed.). Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0821827833.