Álgebra de caminos de Leavitt

En matemáticas, un álgebra de caminos de Leavitt es un álgebra construida a partir de un grafo dirigido. Las álgebras de caminos de Leavitt generalizan las álgebras de Leavitt y pueden considerarse como análogos algebraicos de las C*-álgebras de grafos .

Las álgebras de caminos de Leavitt fueron introducidas simultáneamente en 2005 por Gene Abrams y Gonzalo Aranda Pino ^{[ 1 ]} , así como por Pere Ara, María Moreno y Enrique Pardo ^{[ 2 ]} , sin que ninguno de los dos grupos conociera el trabajo del otro. ^{[ 3 ]} Las álgebras de caminos de Leavitt han sido investigadas por decenas de matemáticos desde su introducción, y en 2020 se añadieron a la Clasificación de Materias Matemáticas con el código 16S88 dentro de la disciplina general de Anillos y Álgebras Asociativas. ^{[ 4 ]}

La referencia básica es el libro Leavitt Path Algebras . ^{[ 5 ]}

La teoría de las álgebras de caminos de Leavitt utiliza una terminología para grafos similar a la de los algebristas de C*, que difiere ligeramente de la utilizada por los teóricos de grafos. El término grafo se suele entender como un grafo dirigido.${\displaystyle E=(E^{0},E^{1},r,s)}$que consta de un conjunto numerable de vértices${\displaystyle E^{0}}$, un conjunto contable de aristas${\displaystyle E^{1}}$y mapas${\displaystyle r,s:E^{1}\rightarrow E^{0}}$identificando el rango y la fuente de cada arista, respectivamente. Un vértice${\displaystyle v\in E^{0}}$se llama fregadero cuando${\displaystyle s^{-1}(v)=\emptyset}$; es decir, no hay bordes en${\displaystyle E}$con fuente${\displaystyle v}$. Un vértice${\displaystyle v\in E^{0}}$se denomina emisor infinito cuando${\displaystyle s^{-1}(v)}$es infinito; es decir, hay infinitas aristas en${\displaystyle E}$con fuente${\displaystyle v}$Un vértice se denomina vértice singular si es un sumidero o un emisor infinito, y un vértice se denomina vértice regular si no es un vértice singular. Tenga en cuenta que un vértice${\displaystyle v}$es regular si y solo si el número de aristas en${\displaystyle E}$con fuente${\displaystyle v}$es finito y distinto de cero. Un grafo se denomina finito por filas si no tiene emisores infinitos; es decir, si cada vértice es un vértice regular o un sumidero.

Un camino es una secuencia finita de aristas.${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$con${\displaystyle r(e_{i})=s(e_{i+1})}$a pesar de${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$Un camino infinito es una secuencia infinita numerable de aristas .${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots }$con${\displaystyle r(e_{i})=s(e_{i+1})}$a pesar de${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$Un ciclo es un camino${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$con${\displaystyle r(e_{n})=s(e_{1})}$y una salida para un ciclo${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$es una ventaja${\displaystyle f\in E^{1}}$de tal manera que${\displaystyle s(f)=s(e_{i})}$y${\displaystyle f\neq e_{i}}$para algunos${\displaystyle 1\leq i\leq n}$Un ciclo${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$se denomina ciclo simple si${\ Displaystyle s (e_ {i}) \ neq s (e_ {1})}$a pesar de${\displaystyle 2\leq i\leq n}$.

A continuación se presentan dos condiciones importantes de los grafos que surgen en el estudio de las álgebras de caminos de Leavitt.

Condición (L): Cada ciclo en el gráfico tiene una salida.

Condición (K): No hay ningún vértice en el grafo que se encuentre en exactamente un ciclo simple. De forma equivalente, un grafo satisface la condición (K) si y solo si cada vértice del grafo no se encuentra en ningún ciclo o se encuentra en dos o más ciclos simples.

Corregir un campo${\displaystyle K}$. A Cuntz–Krieger${\displaystyle E}$-familia es una colección${\displaystyle \{s_{e}^{*},s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$en un${\displaystyle K}$-álgebra tal que se satisfacen las siguientes tres relaciones (llamadas relaciones de Cuntz-Krieger ):

(CK0)${\displaystyle p_{v}p_{w}={\begin{cases}p_{v}&{\text{si }}v=w\\0&{\text{si }}v\neq w\end{cases}}\quad }$a pesar de${\displaystyle v,w\in E^{0}}$,

(CK1)${\displaystyle s_{e}^{*}s_{f}={\begin{cases}p_{r(e)}&{\text{si }}e=f\\0&{\text{si }}e\neq f\end{cases}}\quad }$a pesar de${\displaystyle e,f\in E^{1}}$,

(CK2)${\displaystyle p_{v}=\sum _ {s(e)=v}s_{e}s_{e}^{*}}$cuando sea${\displaystyle v}$es un vértice regular y

(CK3)${\ Displaystyle p_ {s (e)} s_ {e} = s_ {e}}$a pesar de${\displaystyle e\in E^{1}}$.

El álgebra de caminos de Leavitt correspondiente a${\displaystyle E}$, denotado por${\displaystyle L_{K}(E)}$, se define como el${\displaystyle K}$-álgebra generada por un Cuntz–Krieger${\displaystyle E}$-familia que es universal en el sentido de que siempre que${\displaystyle \{t_{e},t_{e}^{*},q_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$es un Cuntz-Krieger${\displaystyle E}$-familia en una${\displaystyle K}$-álgebra${\displaystyle A}$existe un${\displaystyle K}$homomorfismo de álgebra${\displaystyle \phi :L_{K}(E)\to A}$con${\displaystyle \phi (s_{e})=t_{e}}$a pesar de${\displaystyle e\in E^{1}}$,${\displaystyle \phi (s_{e}^{*})=t_{e}^{*}}$a pesar de${\displaystyle e\in E^{1}}$, y${\displaystyle \phi (p_{v})=q_{v}}$a pesar de${\displaystyle v\in E^{0}}$.

Nosotros definimos${\displaystyle p_{v}^{*}:=p_{v}}$para${\displaystyle v\in E^{0}}$y para un camino${\displaystyle \alpha$ :=e_{1}\ldots e_{n}} definimos${\displaystyle s_{\alpha }:=s_{e_{1}}\ldots s_{e_{n}}}$y${\displaystyle s_{\alpha }^{*}:=s_{e_{n}}^{*}\ldots s_{e_{1}}^{*}}$Utilizando las relaciones de Cuntz-Krieger, se puede demostrar que

${\displaystyle L_{K}(E)=\operatorname {span} _{K}\{s_{\alpha }s_{\beta }^{*}:\alpha {\text{ and }}\beta {\text{ are paths in }}E\}.}$

Por lo tanto, un elemento típico de${\displaystyle L_{K}(E)}$tiene la forma${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}s_{\alpha _{i}}s_{\beta _{i}}^{*}}$para escalares${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K}$y caminos${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}$en${\displaystyle E}$. Si${\displaystyle K}$es un campo con una involución${\displaystyle \lambda \mapsto {\overline {\lambda }}}$(por ejemplo, cuando${\displaystyle K=\mathbb {C} }$), entonces se puede definir una operación * en${\displaystyle L_{K}(E)}$por${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}s_{\alpha _{i}}s_{\beta _{i}}^{*}\mapsto \sum _{i=1}^{n}{\overline {\lambda _{i}}}s_{\beta _{i}}s_{\alpha _{i}}^{*}}$eso hace${\displaystyle L_{K}(E)}$en un *-álgebra.

Además, se puede demostrar que para cualquier gráfico${\displaystyle E}$, el álgebra de caminos de Leavitt${\displaystyle L_{\mathbb {C} }(E)}$es isomorfo a una *-subálgebra densa del álgebra C* de grafos${\displaystyle C^{*}(E)}$.

Se han calculado álgebras de caminos de Leavitt para muchos grafos, y la siguiente tabla muestra algunos grafos particulares y sus álgebras de caminos de Leavitt. Usamos la convención de que una flecha doble dibujada de un vértice a otro y etiquetada${\displaystyle \infty }$indica que hay un número infinito numerable de aristas desde el primer vértice hasta el segundo.

Al igual que con las C*-álgebras de grafos, las propiedades de la teoría de grafos de${\displaystyle E}$corresponden a propiedades algebraicas de${\displaystyle L_{K}(E)}$Curiosamente, a menudo es el caso que las propiedades gráficas de${\displaystyle E}$que son equivalentes a una propiedad algebraica de${\displaystyle L_{K}(E)}$son las mismas propiedades gráficas de${\displaystyle E}$que son equivalentes a la propiedad C*-algebraica correspondiente de${\displaystyle C^{*}(E)}$y además, muchas de las propiedades para${\displaystyle L_{K}(E)}$son independientes del campo${\displaystyle K}$.

La siguiente tabla ofrece una breve lista de algunas de las equivalencias más conocidas. El lector puede comparar esta tabla con la tabla correspondiente para las C*-álgebras gráficas .

Para un camino${\displaystyle \alpha$ :=e_{1}\ldots e_{n}} dejamos${\displaystyle |\alpha |:=n}$denotan la longitud de${\displaystyle \alpha }$. Para cada entero${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$definimos${\displaystyle L_{K}(E)_{n}:=\operatorname {span} _{K}\{s_{\alpha }s_{\beta }^{*}:|\alpha |-|\beta |=n\}}$. Se puede demostrar que esto define un${\displaystyle \mathbb {Z} }$-calificación en el álgebra de la ruta Leavitt${\displaystyle L_{K}(E)}$y eso${\displaystyle L_{K}(E)=\bigoplus _{n\in \mathbb {Z} }L_{K}(E)_{n}}$con${\displaystyle L_{K}(E)_{n}}$siendo el componente de elementos homogéneos de grado${\displaystyle n}$Es importante señalar que la calificación depende de la elección del generador Cuntz-Krieger.${\displaystyle E}$-familia${\displaystyle \{s_{e},s_{e}^{*},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$La calificación en el álgebra de caminos de Leavitt${\displaystyle L_{K}(E)}$es el análogo algebraico de la acción de calibre sobre el grafo C*-álgebra${\displaystyle C*(E)}$y es una herramienta fundamental para analizar la estructura de${\displaystyle L_{K}(E)}$.

Existen dos teoremas de unicidad bien conocidos para las álgebras de caminos de Leavitt: el teorema de unicidad graduada y el teorema de unicidad de Cuntz-Krieger. Estos son análogos, respectivamente, al teorema de unicidad invariante de gauge y al teorema de unicidad de Cuntz-Krieger para las C*-álgebras de grafos . Las formulaciones formales de los teoremas de unicidad son las siguientes:

El teorema de unicidad graduada : Fijar un campo${\displaystyle K}$. Dejar${\displaystyle E}$Sea un grafo y dejemos que${\displaystyle L_{K}(E)}$sea ​​el álgebra de caminos de Leavitt asociada. Si${\displaystyle A}$es una calificación${\displaystyle K}$-álgebra y${\displaystyle \phi :L_{K}(E)\to A}$es un homomorfismo de álgebra graduada con${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$a pesar de${\displaystyle v\in E^{0}}$, entonces${\displaystyle \phi }$es inyectivo.

El teorema de unicidad de Cuntz-Krieger: Fijemos un campo.${\displaystyle K}$. Dejar${\displaystyle E}$Sea un grafo que satisface la condición (L), y sea${\displaystyle L_{K}(E)}$sea ​​el álgebra de caminos de Leavitt asociada. Si${\displaystyle A}$es un${\displaystyle K}$-álgebra y${\displaystyle \phi :L_{K}(E)\to A}$es un homomorfismo de álgebra con${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$a pesar de${\displaystyle v\in E^{0}}$, entonces${\displaystyle \phi }$es inyectivo.

Utilizamos el término ideal para referirnos a un "ideal de dos lados" en nuestras álgebras de caminos de Leavitt. La estructura ideal de${\displaystyle L_{K}(E)}$se puede determinar a partir de${\displaystyle E}$. Un subconjunto de vértices${\displaystyle H\subseteq E^{0}}$se denomina hereditario si para todos${\displaystyle e\in E^{1}}$,${\displaystyle s(e)\in H}$implica${\displaystyle r(e)\in H}$Un subconjunto hereditario${\displaystyle H}$se llama saturado si siempre que${\displaystyle v}$es un vértice regular con${\displaystyle r(s^{-1}(v))\subseteq H}$, entonces${\displaystyle v\in H}$. Los subconjuntos hereditarios saturados de${\displaystyle E}$están parcialmente ordenados por inclusión y forman una red con encuentro${\displaystyle H_{1}\wedge H_{2}:=H_{1}\cap H_{2}}$y únase${\displaystyle H_{1}\vee H_{2}}$definido como el subconjunto hereditario saturado más pequeño que contiene${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$.

Si${\displaystyle H}$es un subconjunto hereditario saturado,${\displaystyle I_{H}}$se define como un ideal bilateral en${\displaystyle L_{K}(E)}$generado por${\displaystyle \{p_{v}:v\in H\}}$Un ideal de dos caras${\displaystyle I}$de${\displaystyle L_{K}(E)}$Se denomina ideal graduado si el${\displaystyle I}$tiene un${\displaystyle \mathbb {Z} }$-calificación${\displaystyle I=\bigoplus _{n\in \mathbb {Z} }I_{n}}$y${\displaystyle I_{n}=L_{K}(E)_{n}\cap I}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$Los ideales graduados están parcialmente ordenados por inclusión y forman una red con puntos de encuentro.${\displaystyle I_{1}\wedge I_{2}:=I_{1}\cap I_{2}}$y conjunto${\displaystyle I_{1}\vee I_{2}}$definido como el ideal generado por${\displaystyle I_{1}\cup I_{2}}$. Para cualquier subconjunto hereditario saturado${\displaystyle H}$, el ideal${\displaystyle I_{H}}$es calificado.

El siguiente teorema describe cómo los ideales graduados de${\displaystyle L_{K}(E)}$corresponden a subconjuntos hereditarios saturados de${\displaystyle E}$.

Teorema: Fijar un campo${\displaystyle K}$y dejar${\displaystyle E}$Sea un grafo con filas finitas. Entonces se cumplen las siguientes condiciones:

1. La función${\displaystyle H\mapsto I_{H}}$es un isomorfismo reticular del retículo de subconjuntos hereditarios saturados de${\displaystyle E}$sobre la red de ideales graduados de${\displaystyle L_{K}(E)}$con el inverso dado por${\displaystyle I\mapsto \{v\in E^{0}:p_{v}\in I\}}$.
2. Para cualquier subconjunto hereditario saturado${\displaystyle H}$, el cociente${\displaystyle L_{K}(E)/I_{H}}$es${\displaystyle *}$-isomorfo a${\displaystyle L_{K}(E\setminus H)}$, dónde${\displaystyle E\setminus H}$es el subgrafo de${\displaystyle E}$con conjunto de vértices${\displaystyle (E\setminus H)^{0}:=E^{0}\setminus H}$y conjunto de bordes${\displaystyle (E\setminus H)^{1}:=E^{1}\setminus r^{-1}(H)}$.
3. Para cualquier subconjunto hereditario saturado${\displaystyle H}$, el ideal${\displaystyle I_{H}}$¿Es Morita equivalente a?${\displaystyle L_{K}(E_{H})}$, dónde${\displaystyle E_{H}}$es el subgrafo de${\displaystyle E}$con conjunto de vértices${\displaystyle E_{H}^{0}:=H}$y conjunto de bordes${\displaystyle E_{H}^{1}:=s^{-1}(H)}$.
4. Si${\displaystyle E}$satisface la condición (K), entonces todo ideal de${\displaystyle L_{K}(E)}$se califica y los ideales de${\displaystyle L_{K}(E)}$están en correspondencia uno a uno con los subconjuntos hereditarios saturados de${\displaystyle E}$.