Cuadratura de Lebedev

En análisis numérico , la cuadratura de Lebedev , que recibe su nombre de Vyacheslav Ivanovich Lebedev , es una aproximación a la integral de superficie de una función sobre una esfera tridimensional . La malla se construye de manera que posea simetría de rotación e inversión octaédrica . El número y la ubicación de los puntos de la malla, junto con un conjunto correspondiente de ponderaciones de integración, se determinan imponiendo la integración exacta de polinomios (o, equivalentemente, armónicos esféricos ) hasta un orden dado, lo que da lugar a una secuencia de mallas cada vez más densas, análogas al esquema de Gauss-Legendre unidimensional .

La malla de Lebedev se emplea frecuentemente en la evaluación numérica de integrales de volumen en el sistema de coordenadas esféricas , donde se combina con un esquema de integración unidimensional para la coordenada radial. Se encuentran aplicaciones de la malla en campos como la química computacional y el transporte de neutrones . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La integral de superficie de una función sobre la esfera unitaria, $${\displaystyle I[f]=\int \mathrm {d} \Omega \,f(\Omega )=\int _{0}^{\pi }\sin(\theta )\,\mathrm {d} \theta \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \,f(\theta ,\varphi ),}$$ se aproxima en el esquema de Lebedev como $${\displaystyle {\tilde {I}}[f]=4\pi \sum _{i=1}^{N}w_{i}f(\theta _{i},\varphi _{i}),}$$ donde se deben determinar los puntos de la malla y los pesos de la malla. El uso de una sola suma, en lugar de dos esquemas unidimensionales de discretización individual de las integrales θ y φ , conduce a un procedimiento más eficiente: se requieren menos puntos de malla totales para obtener una precisión similar. Un factor competitivo es la aceleración computacional disponible al usar el producto directo de dos mallas unidimensionales. A pesar de esto, la malla de Lebedev sigue superando a las mallas de producto. ^{[ 3 ]} Sin embargo, el uso de dos integraciones unidimensionales permite un mejor ajuste fino de las mallas y simplifica el uso de cualquier simetría del integrando para eliminar puntos de malla equivalentes por simetría.

Los puntos de la cuadrícula de Lebedev se construyen de manera que se encuentren en la superficie de la esfera unitaria tridimensional y sean invariantes bajo el grupo de rotación octaédrica con inversión. ^{[ 4 ]} Para cualquier punto de la esfera, hay cinco, siete, once, veintitrés o cuarenta y siete puntos equivalentes con respecto al grupo octaédrico, todos los cuales están incluidos en la cuadrícula. Además, todos los puntos equivalentes bajo el grupo de rotación e inversión comparten los mismos pesos. El conjunto más pequeño de dichos puntos se construye a partir de las seis permutaciones de (±1,  0,  0) (denotadas colectivamente como a ¹ ), lo que conduce a un esquema de integración. $${\displaystyle {\tilde {I}}_{6}[f]=A_{1}\sum _{i=1}^{6}f(a_{i}^{1}),}$$ donde el peso de la cuadrícula es A ₁ . Geométricamente, estos puntos corresponden a los vértices de un octaedro regular cuando se alinean con los ejes cartesianos. Otros dos conjuntos de puntos, correspondientes a los centros y vértices del octaedro, son todos ocho permutaciones no correlacionadas de${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$(denotado como un ³ ), y todas las doce permutaciones de${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}(\pm 1,\pm 1,0)}$(denotado como a ² ). Esta selección de puntos de la cuadrícula da lugar al esquema $${\displaystyle {\tilde {I}}_{26}[f]=A_{1}\sum _{i=1}^{6}f(a_{i}^{1})+A_{2}\sum _{i=1}^{12}f(a_{i}^{2})+A_{3}\sum _{i=1}^{8}f(a_{i}^{3}),}$$ donde A ₁ , A ₂ y A ₃ son las funciones de ponderación que aún deben determinarse. Se pueden emplear tres tipos adicionales de puntos, como se muestra en la tabla. Cada uno de estos tipos de clases puede contribuir con más de un conjunto de puntos a la cuadrícula. En generalidad, el esquema de Lebedev es $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {I}}_{N}[f]&=A_{1}\sum _{i=1}^{6}f(a_{i}^{1})+A_{2}\sum _{i=1}^{12}f(a_{i}^{2})+A_{3}\sum _{i=1}^{8}f(a_{i}^{3})\\&+\sum _{k=1}^{N_{1}}B_{k}\sum _{i=1}^{24}f(b_{i}^{k})+\sum _{k=1}^{N_{2}}C_{k}\sum _{i=1}^{24}f(c_{i}^{k})+\sum _{k=1}^{N_{3}}D_{k}\sum _{i=1}^{48}f(d_{i}^{k}),\end{aligned}}}$$ donde el número total de puntos, N , es $${\displaystyle N=26+24(N_{1}+N_{2})+48N_{3},}$$ pero en algunos casos A ₂ se establece en cero y el número de puntos es $${\displaystyle N=14+24(N_{1}+N_{2})+48N_{3}.}$$

La determinación de los pesos de la malla se logra al imponer el esquema para integrar exactamente todos los polinomios hasta un orden dado. En la esfera unitaria, esto es equivalente a integrar todos los armónicos esféricos hasta el mismo orden. Este problema se simplifica mediante un teorema de Sergei Lvovich Sobolev que implica que esta condición debe imponerse solo a aquellos polinomios que son invariantes bajo el grupo de rotación octaédrica con inversión. ^{[ 5 ]} Imponer estas condiciones conduce a un conjunto de ecuaciones no lineales que se han resuelto y tabulado hasta el orden 131 en el polinomio. ^{[ 4 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

• Código Fortran para evaluar los puntos y pesos de la cuadrícula de Lebedev.
• Códigos Python: quadpy y CasperBeentjes
• Puntos de cuadrícula descargables