Teorema de descomposición de Lebesgue

El teorema de descomposición de Lebesgue se puede refinar de varias maneras. Primero, como el teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym . Es decir, sea ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ser un espacio de medida,${\displaystyle \mu }$una medida positiva σ-finita en${\displaystyle \Sigma }$y${\displaystyle \lambda }$una medida compleja sobre${\displaystyle \Sigma }$. ^{[ 4 ]}

• Existe un par único de medidas complejas en${\displaystyle \Sigma }$de tal manera que$${\displaystyle \lambda =\lambda _{a}+\lambda _{s},\quad \lambda _{a}\ll \mu ,\quad \lambda _{s}\perp \mu .}$$Si${\displaystyle \lambda }$es positivo y finito, entonces también lo son${\displaystyle \lambda _{a}}$y${\displaystyle \lambda _{s}}$.
• Hay una única${\displaystyle h\in L^{1}(\mu )}$de tal manera que$${\displaystyle \lambda _{a}(E)=\int _{E}hd\mu ,\quad E\in \Sigma .}$$

La primera afirmación se deriva de la descomposición de Lebesgue, la segunda se conoce como el teorema de Radon-Nikodym . Es decir, la función${\displaystyle h}$es un derivado de Radon-Nikodym que puede expresarse como $${\displaystyle h={\frac {d\lambda _{a}}{d\mu }}.}$$

Un refinamiento alternativo es el de la descomposición de una medida de Borel regular ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle \nu =\nu _{ac}+\nu _{sc}+\nu _{pp},}$$ dónde

• ${\displaystyle \nu _ {ac}\ll \mu }$es la parte absolutamente continua
• ${\displaystyle \nu _{sc}\perp \mu }$es la parte continua singular
• ${\displaystyle \nu _{pp}}$es la parte de punto puro (una medida discreta ).

Las medidas absolutamente continuas se clasifican según el teorema de Radon-Nikodym , y las medidas discretas se comprenden fácilmente. Por lo tanto (salvo las medidas continuas singulares), la descomposición de Lebesgue proporciona una descripción muy explícita de las medidas. La medida de Cantor (la medida de probabilidad en la recta real cuya función de distribución acumulativa es la función de Cantor ) es un ejemplo de medida continua singular.

La descomposición análoga para un proceso estocástico es la descomposición de Lévy-Itō : dado un proceso de Lévy X, se puede descomponer como una suma de tres procesos de Lévy independientes.${\displaystyle X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}}$dónde:

• ${\displaystyle X^{(1)}}$es un movimiento browniano con deriva, que corresponde a la parte absolutamente continua;
• ${\displaystyle X^{(2)}}$es un proceso de Poisson compuesto , que corresponde a la parte de punto puro;
• ${\displaystyle X^{(3)}}$es una martingala de saltos puros integrable al cuadrado que casi seguramente tiene un número contable de saltos en un intervalo finito, correspondiente a la parte continua singular.