columna de Lebesgue

En matemáticas , en el ámbito de la teoría del potencial , una espina de Lebesgue es un tipo de conjunto que se utiliza para analizar soluciones al problema de Dirichlet y problemas relacionados de la teoría del potencial. La espina de Lebesgue fue introducida en 1912 por Henri Lebesgue para demostrar que el problema de Dirichlet no siempre tiene solución, especialmente cuando el límite presenta un borde suficientemente afilado que se adentra en el interior de la región.

Una columna vertebral de Lebesgue típica en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, para${\displaystyle n\geq 3,}$se define de la siguiente manera

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}>0,x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}\leq \exp(-1/x_{n}^{2})\}.}$

Las características importantes de este conjunto son que está conectado y conectado por caminos en la topología euclidiana en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y el origen es un punto límite del conjunto, y sin embargo el conjunto es delgado en el origen, como se define en el artículo Topología fina (teoría del potencial) .

El conjunto${\displaystyle S}$no está cerrado en la topología euclidiana ya que no contiene el origen que es un punto límite de${\displaystyle S}$, pero el conjunto es cerrado en la topología fina en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

En comparación, no es posible en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$construir un conjunto conexo que sea delgado en el origen.

• JL Doob. Teoría del potencial clásico y su contraparte probabilística , Springer-Verlag, Berlín Heidelberg Nueva York, ISBN 3-540-41206-9.
• LL Helms (1975). Introducción a la teoría del potencial . RE Krieger ISBN 0-88275-224-3.