Modelo de Lee-Carter

El modelo Lee-Carter es un algoritmo numérico utilizado en la predicción de la mortalidad y la esperanza de vida . ^{[ 1 ]} La entrada del modelo es una matriz de tasas de mortalidad específicas por edad , ordenadas monótonamente por tiempo, generalmente con las edades en las columnas y los años en las filas. La salida es una matriz de tasas de mortalidad pronosticadas en el mismo formato que la entrada.

El modelo utiliza la descomposición en valores singulares (SVD) para encontrar:

• Un vector de series temporales univariadas${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$que captura el 80-90% de la tendencia de mortalidad (aquí el subíndice${\displaystyle t}$se refiere al tiempo),
• Un vector${\displaystyle \mathbf {b} _ {x}}$que describe la mortalidad relativa en cada edad (aquí el subíndice${\displaystyle x}$se refiere a la edad), y
• Una constante de escala (a la que nos referimos aquí como${\displaystyle s_{1}}$pero no se menciona en la literatura).

${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$suele ser lineal, lo que implica que las ganancias en la esperanza de vida son bastante constantes año tras año en la mayoría de las poblaciones. Antes de calcular la SVD, las tasas de mortalidad específicas por edad se transforman primero en${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}}$, tomando sus logaritmos y luego centrándolos restando sus medias específicas por edad a lo largo del tiempo. La media específica por edad a lo largo del tiempo se denota por${\displaystyle \mathbf {a} _{x}}$. El subíndice${\displaystyle x,t}$se refiere al hecho de que${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}}$Abarca tanto la edad como el tiempo.

Muchos investigadores ajustan el${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$vector ajustándolo a las esperanzas de vida empíricas para cada año, utilizando el${\displaystyle \mathbf {a} _{x}}$y${\displaystyle \mathbf {b} _ {x}}$generado con SVD. Cuando se ajusta utilizando este enfoque, los cambios en${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$suelen ser pequeños.

Para pronosticar la mortalidad,${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$(ajustado o no) se proyecta en${\displaystyle n}$años futuros utilizando un modelo ARIMA . El pronóstico correspondiente${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t+n}}$se recupera multiplicando${\displaystyle \mathbf {k} _{t+n}}$por${\displaystyle \mathbf {b} _ {x}}$y el primer elemento diagonal de S (cuando${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V^{*}} ={\text{svd}}(\mathbf {A} _{x,t})}$). Las tasas de mortalidad reales se recuperan tomando exponenciales de este vector.

Debido a la linealidad de${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$Generalmente se modela como un paseo aleatorio con tendencia. La esperanza de vida y otras medidas de la tabla de mortalidad se pueden calcular a partir de esta matriz de pronósticos, sumando las medias y aplicando exponenciales para obtener tasas de mortalidad regulares.

En la mayoría de las implementaciones, los intervalos de confianza para los pronósticos se generan simulando múltiples pronósticos de mortalidad utilizando métodos de Monte Carlo . Se considera que una banda de mortalidad entre los percentiles 5% y 95% de los resultados simulados es un pronóstico válido. Estas simulaciones se realizan extendiendo${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$hacia el futuro utilizando aleatorización basada en el error estándar de${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$derivado de los datos de entrada.

El algoritmo busca encontrar la solución de mínimos cuadrados para la ecuación:

${\displaystyle \ln {(\mathbf {m} _{x,t})}=\mathbf {a} _{x}+\mathbf {b} _{x}\mathbf {k} _{t}+\epsilon _{x,t}}$

dónde${\displaystyle \mathbf {m} _{x,t}}$es una matriz de tasa de mortalidad para cada edad${\displaystyle x}$cada año${\displaystyle t}$.

1. Calcular${\displaystyle \mathbf {a} _{x}}$que es el promedio a lo largo del tiempo de${\displaystyle \ln {(\mathbf {m} _{x,t})}}$para cada edad:

   ${\displaystyle \mathbf {a} _{x}={\frac {\sum _{t=1}^{T}{\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}}}{T}}}$

2. Calcular${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}}$que se utilizará en SVD:

   ${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}=\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}-\mathbf {a} _{x}}$

3. Calcular la descomposición en valores singulares de${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}}$:

   ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V^{*}} ={\text{svd}}(\mathbf {A} _{x,t})}$

4. Derivar${\displaystyle \mathbf {b} _ {x}}$,${\displaystyle s_{1}}$(el valor propio de escala) y${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$de${\displaystyle \mathbf {U} }$,${\displaystyle \mathbf {S} }$, y${\displaystyle \mathbf {V^{*}} }$:

   ${\displaystyle \mathbf {b} _{x}=(u_{1,1},u_{2,1},...,u_{x,1})}$

   ${\displaystyle \mathbf {k} _ {t}=(v_{1,1},v_{1,2},...,v_{1,t})}$

5. Pronóstico${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$utilizando un modelo ARIMA univariado estándar para${\displaystyle n}$años adicionales:

   ${\displaystyle \mathbf {k} _{t+n}={\text{ARIMA}}(\mathbf {k} _{t},n)}$

6. Utilice el pronóstico${\displaystyle \mathbf {k} _{t+n}}$, con el original${\displaystyle \mathbf {b} _{x}}$, y${\displaystyle \mathbf {a} _{x}}$para calcular la tasa de mortalidad prevista para cada edad:

   ${\displaystyle \mathbf {m} _{x,t+n}=\exp(\mathbf {a} _{x}+s_{1}\mathbf {k} _{t+n}\mathbf {b} _{x})}$

Sin aplicar la descomposición en valores singulares (SVD) u otro método de reducción de dimensionalidad, la tabla de datos de mortalidad constituye una serie de datos multivariante altamente correlacionada, y la complejidad de estas series temporales multidimensionales dificulta su predicción. La SVD se ha generalizado como método de reducción de dimensionalidad en diversos campos, incluyendo el algoritmo de posicionamiento web de Google .

El modelo Lee-Carter fue presentado por Ronald D. Lee y Lawrence Carter en 1992 con el artículo "Modelado y pronóstico de la mortalidad en EE. UU." ^{[ 2 ]} El modelo surgió de su trabajo a finales de la década de 1980 y principios de la de 1990, cuando intentaron utilizar la proyección inversa para inferir tasas en la demografía histórica . ^{[ 3 ]} El modelo ha sido utilizado por la Administración del Seguro Social de los Estados Unidos , la Oficina del Censo de los Estados Unidos y las Naciones Unidas. Se ha convertido en la técnica de pronóstico de mortalidad más utilizada en el mundo actualmente. ^{[ 4 ]}

Se han realizado extensiones al modelo de Lee-Carter, principalmente para tener en cuenta los años faltantes, las poblaciones masculinas y femeninas correlacionadas y la coherencia a gran escala en poblaciones que comparten un régimen de mortalidad (Europa occidental, por ejemplo). Muchos artículos relacionados pueden consultarse en el sitio web del profesor Ronald Lee .

Existen pocos paquetes de software para realizar pronósticos con el modelo Lee-Carter.

• LCFIT , archivado el 18 de abril de 2022 en la Wayback Machine , es un paquete web con formularios interactivos.
• El profesor Rob J. Hyndman proporciona un paquete de R para demografía que incluye rutinas para crear y pronosticar un modelo de Lee-Carter.
• Entre las alternativas en R se incluye el paquete StMoMo de Villegas, Millossovich y Kaishev (2015).
• El profesor German Rodriguez proporciona el código para el modelo Lee-Carter utilizando Stata .
• Utilizando Matlab , el profesor Eric Jondeau y el profesor Michael Rockinger han creado la Caja de Herramientas de Longevidad para la estimación de parámetros.