Dualidad de Lefschetz

En matemáticas , la dualidad de Lefschetz es una versión de la dualidad de Poincaré en topología geométrica , que se aplica a una variedad con frontera . Esta formulación fue introducida por Solomon Lefschetz ( 1926 ) , al mismo tiempo que introdujo la homología relativa , para su aplicación al teorema del punto fijo de Lefschetz . ^{[ 1 ]} Actualmente existen numerosas formulaciones de la dualidad de Lefschetz o dualidad de Poincaré-Lefschetz , o dualidad de Alexander-Lefschetz . 

Sea M una variedad compacta orientable de dimensión n , con frontera${\displaystyle \partial (M)}$y dejar${\displaystyle z\in H_{n}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )}$Sea la clase fundamental de la variedad M. Entonces, el producto cap con z (o su clase dual en cohomología) induce un emparejamiento de los grupos de (co)homología de M y la (co)homología relativa del par.${\displaystyle (M,\partial (M))}$Además, esto da lugar a isomorfismos de${\displaystyle H^{k}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )}$con${\displaystyle H_{nk}(M;\mathbb {Z} )}$y de${\displaystyle H_{k}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )}$con${\displaystyle H^{nk}(M;\mathbb {Z} )}$a pesar de${\displaystyle k}$. ^{[ 2 ]}

Aquí${\displaystyle \partial (M)}$De hecho, puede estar vacío, por lo que la dualidad de Poincaré aparece como un caso especial de la dualidad de Lefschetz.

Hay una versión para tríos.${\displaystyle \partial (M)}$descomponer en subespacios A y B , que a su vez son variedades orientables compactas con frontera común Z , que es la intersección de A y B. Entonces, para cada${\displaystyle k}$, existe un isomorfismo ^{[ 3 ]}

${\displaystyle D_{M}\colon H^{k}(M,A;\mathbb {Z} )\to H_{nk}(M,B;\mathbb {Z} ).}$

• "Dualidad de Lefschetz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Lefschetz, Solomon (1926), "Transformaciones de variedades con frontera", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 12 (12), Academia Nacional de Ciencias: 737– 739, Bibcode : 1926PNAS...12..737L , doi : 10.1073/pnas.12.12.737 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 84764 , PMC 1084792 , PMID 16587146