Colector de Lefschetz

En matemáticas , una variedad de Lefschetz es un tipo particular de variedad simpléctica.${\displaystyle (M^{2n},\omega )}$, compartiendo una cierta propiedad cohomológica con las variedades de Kähler , la de satisfacer la conclusión del teorema de Lefschetz duro . Más precisamente, la propiedad de Lefschetz fuerte exige que para${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}$, el producto de la taza

${\displaystyle \cup [\omega ^{k}]\colon H^{nk}(M,\mathbb {R} )\to H^{n+k}(M,\mathbb {R} )}$

ser un isomorfismo.

La topología de estas variedades simplécticas está severamente restringida; por ejemplo, sus números de Betti impares son pares. Esta observación conduce a numerosos ejemplos de variedades simplécticas que no son de Kähler; el primer ejemplo histórico se debe a William Thurston . ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle M}$ser un (${\displaystyle 2n}$Variedad lisa )-dimensional. Cada elemento

${\displaystyle [\omega ]\in H_{DR}^{2}(M)}$

del segundo espacio de cohomología de de Rham de${\displaystyle M}$induce un mapa

${\displaystyle L_{[\omega ]}:H_{DR}(M)\to H_{DR}(M),[\alpha ]\mapsto [\omega \wedge \alpha ]}$

llamado el mapa de Lefschetz de${\displaystyle [\omega ]}$Alquiler${\displaystyle L_{[\omega ]}^{i}}$ser el${\displaystyle i}$iteración de${\displaystyle L_{[\omega ]}}$, tenemos para cada uno${\displaystyle 0\leq i\leq n}$un mapa

${\displaystyle L_{[\omega ]}^{i}:H_{DR}^{ni}(M)\to H_{DR}^{n+i}(M).}$

Si${\displaystyle M}$es compacto y orientado , entonces la dualidad de Poincaré nos dice que${\displaystyle H_{DR}^{ni}(M)}$y${\displaystyle H_{DR}^{n+i}(M)}$son espacios vectoriales de la misma dimensión, por lo que en estos casos es natural preguntarse si las distintas iteraciones de los mapas de Lefschetz son isomorfismos o no.

El teorema de Hard Lefschetz establece que esto se cumple para la forma simpléctica de una variedad de Kähler compacta.

Si

${\displaystyle L_{[\omega ]}^{n-1}:H_{DR}^{1}(M)\to H_{DR}^{2n-1}}$

y

${\displaystyle L_{[\omega ]}^{n}:H_{DR}^{0}(M)\to H_{DR}^{2n}}$

son isomorfismos, entonces${\displaystyle [\omega ]}$es un elemento Lefschetz o una clase Lefschetz . Si

${\displaystyle L_{[\omega ]}^{i}:H_{DR}^{ni}(M)\to H_{DR}^{n+i}(M)}$

es un isomorfismo para todos${\displaystyle 0\leq i\leq n}$, entonces${\displaystyle [\omega ]}$es un elemento Lefschetz fuerte , o una clase Lefschetz fuerte .

Dejar${\displaystyle (M,\omega )}$ser un${\displaystyle 2n}$Variedad simpléctica de dimensión . Entonces es orientable, pero tal vez no compacta. Se dice que${\displaystyle (M,\omega )}$es una variedad de Lefschetz si${\displaystyle [\omega ]}$es un elemento Lefschetz, y${\displaystyle (M,\omega )}$es una variedad de Lefschetz fuerte si${\displaystyle [\omega ]}$es un fuerte elemento Lefschetz.

La variedad real subyacente a cualquier variedad de Kähler es una variedad simpléctica. El teorema de Lefschetz fuerte nos dice que también es una variedad de Lefschetz fuerte y, por lo tanto, una variedad de Lefschetz. En consecuencia, tenemos la siguiente cadena de inclusiones.

{Variedades de Kähler}${\displaystyle \subset }${variedades de Lefschetz fuertes}${\displaystyle \subset }${Variedades de Lefschetz}${\displaystyle \subset }${variedades simplécticas}

Chal Benson y Carolyn S. Gordon demostraron en 1988 ^{[ 2 ]} que si una nilvariedad compacta es una variedad de Lefschetz, entonces es difeomorfa a un toro . El hecho de que existan nilvariedades que no sean difeomorfas a un toro muestra que existe cierto espacio entre las variedades de Kähler y las variedades simplécticas, pero la clase de nilvariedades no muestra ninguna diferencia entre las variedades de Kähler, las variedades de Lefschetz y las variedades de Lefschetz fuertes.

Gordan y Benson conjeturaron que si una variedad solv completa y compacta admite una estructura de Kähler, entonces es difeomorfa a un toro . Esto se ha demostrado. Además, se han encontrado muchos ejemplos de variedades solv que son fuertemente Lefschetz pero no de Kähler, y variedades solv que son Lefschetz pero no fuertemente Lefschetz. Takumi Yamada proporcionó ejemplos de este tipo en 2002. ^{[ 3 ]}