Coset

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , un subgrupo H de un grupo G puede usarse para descomponer el conjunto subyacente de G en subconjuntos disjuntos de igual tamaño llamados clases laterales . Hay clases laterales izquierdas y clases laterales derechas . Las clases laterales (tanto izquierdas como derechas) tienen el mismo número de elementos ( cardinalidad ) que H. Además, H mismo es a la vez una clase lateral izquierda y una clase lateral derecha. El número de clases laterales izquierdas de H en G es igual al número de clases laterales derechas de H en G. Este valor común se llama índice de H en G y generalmente se denota por [ G : H ] . 

Las clases laterales son una herramienta fundamental en el estudio de grupos; por ejemplo, desempeñan un papel central en el teorema de Lagrange , que establece que para cualquier grupo finito G , el número de elementos de cada subgrupo H de G divide al número de elementos de G. Las clases laterales de un tipo particular de subgrupo (un subgrupo normal ) pueden utilizarse como elementos de otro grupo llamado grupo cociente o grupo cociente . Las clases laterales también aparecen en otras áreas de las matemáticas, como los espacios vectoriales y los códigos correctores de errores .

Sea H un subgrupo del grupo G cuya operación se escribe multiplicativamente (la yuxtaposición denota la operación de grupo). Dado un elemento g de G , las clases laterales izquierdas de H en G son los conjuntos obtenidos al multiplicar cada elemento de H por un elemento fijo g de G (donde g es el factor izquierdo). En símbolos, estos son:

Las clases laterales derechas se definen de manera similar, excepto que el elemento g ahora es un factor derecho, es decir,

A medida que g varía a lo largo del grupo, parecería que se generarían muchas clases laterales (derechas o izquierdas). Sin embargo, resulta que cualesquiera dos clases laterales izquierdas (o derechas) son disjuntas o idénticas como conjuntos. ^{[ 1 ]}

Si la operación de grupo se escribe de forma aditiva, como suele ser el caso cuando el grupo es abeliano , la notación utilizada cambia a g + H o H + g , respectivamente.

El símbolo G / H se usa a veces para el conjunto de clases laterales (izquierdas) { gH  : g un elemento de G } (véase más abajo una extensión a clases laterales derechas y clases laterales dobles). Sin embargo, algunos autores (entre ellos Dummit y Foote y Rotman) reservan esta notación específicamente para representar el grupo cociente formado a partir de las clases laterales cuando H es un subgrupo normal de G.

La disyunción de clases laterales no idénticas es resultado del hecho de que si x pertenece a gH entonces gH = xH . Porque si x ∈ gH entonces debe existir un a ∈ H tal que ga = x . Por lo tanto , xH = ( ga ) H = g ( aH ) . Además, como H es un grupo, la multiplicación por la izquierda por a es una biyección , y aH = H.

Así, cada elemento de G pertenece exactamente a una clase lateral izquierda del subgrupo H , ^{[ 1 ]} y H es en sí mismo una clase lateral izquierda (y la que contiene la identidad). ^{[ 2 ]}

Dos elementos que pertenecen al mismo lateral izquierdo también proporcionan una relación de equivalencia natural . Definimos dos elementos de G , x e y , como equivalentes con respecto al subgrupo H si xH = yH (o equivalentemente si x ⁻¹ y pertenece a H ). Las clases de equivalencia de esta relación son los laterales izquierdos de H. ^{[ 4} ] Como con cualquier conjunto de clases ^de equivalencia, forman una partición del conjunto subyacente. Un representante de lateral es un representante en el sentido de clase de equivalencia. Un conjunto de representantes de todos los laterales se llama transversal . Hay otros tipos de relaciones de equivalencia en un grupo, como la conjugación, que forman clases diferentes que no tienen las propiedades aquí discutidas.

Afirmaciones similares se aplican a las clases laterales derechas.

Si G es un grupo abeliano , entonces g + H = H + g para todo subgrupo H de G y todo elemento g de G. Para grupos generales, dado un elemento g y un subgrupo H de un grupo G , la clase lateral derecha de H con respecto a g es también la clase lateral izquierda del subgrupo conjugado g ⁻¹ Hg con respecto a g , es decir, Hg = g ( g ⁻¹ Hg ) .

Un subgrupo H de un grupo G puede usarse para definir una acción de H sobre G de dos maneras naturales. Una acción derecha , G × H → G dada por ( g , h ) → gh o una acción izquierda , H × G → G dada por ( h , g ) → hg . La órbita de g bajo la acción derecha es la clase lateral izquierda gH , mientras que la órbita bajo la acción izquierda es la clase lateral derecha Hg . ^{[ 10 ]}

El concepto de clase lateral se remonta a la obra de Galois de 1830-1831. Introdujo una notación, pero no le dio un nombre al concepto. El término «clase lateral» aparece aparentemente por primera vez en 1910 en un artículo de G. A. Miller publicado en el Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (vol. 41, p.  382). Se han utilizado otros términos, como Nebengruppen ( Weber ) y grupo conjugado ( Burnside ). ^{[ 11 ]} (Cabe señalar que Miller abrevió su autocita a Quarterly Journal of Mathematics ; esto no se refiere a la revista del mismo nombre , que no comenzó a publicarse hasta 1930).

Galois se preocupaba por determinar cuándo una ecuación polinómica dada era resoluble mediante radicales . Una herramienta que desarrolló consistió en observar que un subgrupo H de un grupo de permutaciones G inducía dos descomposiciones de G (lo que ahora llamamos clases laterales izquierdas y derechas). Si estas descomposiciones coincidían, es decir, si las clases laterales izquierdas eran iguales a las derechas, entonces existía una manera de reducir el problema a trabajar sobre H en lugar de sobre G. Camille Jordan, en sus comentarios sobre la obra de Galois en 1865 y 1869 , profundizó en estas ideas y definió los subgrupos normales como lo hemos hecho anteriormente, aunque no utilizó este término. ^{[ 6 ]}

Llamar a la clase lateral gH la clase lateral izquierda de g con respecto a H , si bien es lo más común hoy en día, ^{[ 10 ]} no ha sido universalmente cierto en el pasado. Por ejemplo, Hall (1959) llamaría a gH una clase lateral derecha , enfatizando que el subgrupo está a la derecha.

Un código lineal binario es un subespacio C de dimensión n de un espacio vectorial V de dimensión m sobre el campo binario GF(2) . Como V es un grupo abeliano aditivo, C es un subgrupo de este grupo. Los códigos se pueden usar para corregir errores que pueden ocurrir en la transmisión. Cuando se transmite una palabra clave (elemento de C ), algunos de sus bits pueden alterarse en el proceso, y la tarea del receptor es determinar la palabra clave más probable con la que podría haber comenzado la palabra recibida corrupta. Este procedimiento se llama decodificación y, si solo se cometen unos pocos errores en la transmisión, se puede realizar de manera efectiva con muy pocos errores. Un método utilizado para la decodificación utiliza una disposición de los elementos de V (una palabra recibida puede ser cualquier elemento de V ) en una matriz estándar . Una matriz estándar es una descomposición en clases laterales de V presentada en forma tabular de una manera específica. Es decir, la fila superior de la matriz consta de los elementos de C , escritos en cualquier orden, excepto que el vector cero debe escribirse primero. A continuación, se selecciona un elemento de V con un número mínimo de unos que no aparezca ya en la primera fila, y la clase lateral de C que contiene este elemento se escribe como la segunda fila (es decir, la fila se forma sumando este elemento con cada elemento de C que se encuentra directamente encima). Este elemento se denomina líder de clase lateral , y puede haber cierta libertad para seleccionarlo. Ahora se repite el proceso: se selecciona un nuevo vector con un número mínimo de unos que no aparezca ya como nuevo líder de clase lateral, y la clase lateral de C que lo contiene es la siguiente fila. El proceso finaliza cuando todos los vectores de V se han ordenado en clases laterales.

Un ejemplo de una matriz estándar para el código bidimensional C = {00000, 01101, 10110, 11011} en el espacio pentadimensional V (con 32 vectores) es el siguiente:

El procedimiento de decodificación consiste en encontrar la palabra recibida en la tabla y luego sumarle el líder de clase lateral de la fila en la que se encuentra. Dado que en aritmética binaria la suma es la misma operación que la resta, esto siempre resulta en un elemento de C. En caso de que los errores de transmisión ocurran precisamente en las posiciones no nulas del líder de clase lateral, el resultado será la palabra clave correcta. En este ejemplo, si ocurre un solo error, el método siempre lo corregirá, ya que todos los posibles líderes de clase lateral con un solo valor aparecen en el arreglo.

La decodificación de síndromes puede utilizarse para mejorar la eficiencia de este método. Es un método para calcular la clase lateral (fila) correcta en la que se encontrará una palabra recibida. Para un código C n -dimensional en un espacio vectorial binario m -dimensional, una matriz de verificación de paridad es una matriz H ( m − n ) × m que tiene la propiedad de que x H ^T = 0 si y solo si x está en C. ^{[ 12 ]} El vector x H ^T se denomina síndrome de x , y por linealidad , todo vector en la misma clase lateral tendrá el mismo síndrome. Para decodificar, la búsqueda se reduce ahora a encontrar el líder de la clase lateral que tenga el mismo síndrome que la palabra recibida. ^{[ 13 ]}

Dados dos subgrupos, H y K (que no necesariamente son distintos), de un grupo G , las clases laterales dobles de H y K en G son conjuntos de la forma HgK = { hgk  : h un elemento de H , k un elemento de K } . Estas son las clases laterales izquierdas de K y las clases laterales derechas de H cuando H = 1 y K = 1 respectivamente. ^{[ 14 ]}

Dos clases laterales dobles HxK y HyK son disjuntas o idénticas. ^{[ 15 ]} El conjunto de todas las clases laterales dobles para H y K fijos forman una partición de G.

Un doble cociente HxK contiene los cocientes laterales derechos completos de H (en G ) de la forma Hxk , con k un elemento de K ^, y los cocientes laterales izquierdos completos de K (en G ) de la forma hxK , con h en H. [ ^{15 ]}

• Las clases laterales de Q en R se utilizan en la construcción de conjuntos de Vitali , un tipo de conjunto no mensurable .
• Las clases laterales son fundamentales en la definición de la transferencia .
• Las clases laterales son importantes en la teoría de grupos computacional. Por ejemplo, el algoritmo de Thistlethwaite para resolver el cubo de Rubik se basa en gran medida en las clases laterales.
• En geometría, una forma de Clifford-Klein es un espacio de clases laterales dobles Γ \ G / H , donde G es un grupo de Lie reductivo , H es un subgrupo cerrado y Γ es un subgrupo discreto (de G ) que actúa propiamente de forma discontinua sobre el espacio homogéneo G / H .

• Montón
• enumeración de clases laterales

• Burton, David M. (1988), Álgebra abstracta , Wm. C. Brown Publishers, ISBN 0-697-06761-0
• Dean, Richard A. (1990), Álgebra abstracta clásica , Harper and Row, ISBN 0-06-041601-7
• Fraleigh, John B. (1994), Un primer curso de álgebra abstracta (5ª  ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2
• Hall, Jr., Marshall (1959), La teoría de los grupos , The Macmillan Company
• Jacobson, Nathan (2009) [1985], Álgebra básica I (2.ª  ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
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• Miller, GA (2012) [1916], Teoría y aplicaciones de grupos finitos , Applewood Books, ISBN 9781458500700
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• Weisstein, Eric W. "Costa derecha" . MathWorld .
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• Coset en PlanetMath .
• Ejemplos ilustrados
• "Coset" . groupprops . La wiki de propiedades de grupo.