La constante de Legendre

La constante de Legendre es una constante matemática que aparece en una fórmula construida por Adrien-Marie Legendre para aproximar el comportamiento de la función de conteo de números primos.${\displaystyle \pi (x)}$. Ahora se sabe que el valor que corresponde precisamente a su comportamiento asintótico es 1 . 

Examen de los datos numéricos disponibles para valores conocidos de${\displaystyle \pi (x)}$Esto llevó a Legendre a una fórmula aproximada.

Legendre propuso en 1808 la fórmula $${\displaystyle y={\frac {x}{\log(x)-1.08366}},}$$( OEIS : A228211  ), como proporcionar una aproximación de${\displaystyle y=\pi (x)}$con una "precisión muy satisfactoria". ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Sin embargo, si se define la función real${\displaystyle B(x)}$por $${\displaystyle \pi (x)={\frac {x}{\log(x)-B(x)}},}$$ y si${\displaystyle B(x)}$converge a una constante real${\displaystyle B}$como${\displaystyle x}$si tiende a infinito, entonces esta constante satisface $${\displaystyle B=\lim _{x\to \infty }\left(\log(x)-{x \over \pi (x)}\right).}$$

Ahora no solo se sabe que el límite existe, sino también que su valor es igual a 1, algo menor que el de Legendre.1,08366 . Independientemente de su valor exacto, la existencia del límite${\displaystyle B}$implica el teorema de los números primos .

Pafnuty Chebyshev demostró en 1849 ^{[ 3 ]} que si el límite B existe, debe ser igual a 1. Pintz dio una demostración más sencilla en 1980. ^{[ 4 ]}

Es una consecuencia inmediata del teorema de los números primos , bajo la forma precisa con una estimación explícita del término de error.

$${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$$

(para alguna constante positiva a , donde O (...) es la notación O mayúscula ), como demostró en 1899 Charles de La Vallée Poussin , ^{[ 5 ]} que B es efectivamente igual a 1. (El teorema de los números primos había sido demostrado en 1896, independientemente por Jacques Hadamard ^{[ 6 ]} y La Vallée Poussin, ^{[ 7 ] : 183-256, 281-361} pero sin ninguna estimación del término de error involucrado).

El hecho de que se haya evaluado a un número tan simple ha hecho que el término constante de Legendre tenga principalmente un valor histórico, y a menudo se utiliza (técnicamente de forma incorrecta) para referirse a la primera estimación de Legendre, 1,08366...

Utilizando valores conocidos para${\displaystyle \pi (x)}$, podemos calcular${\displaystyle B(x)=\log x-{\frac {x}{\pi (x)}}}$para valores de${\displaystyle x}$mucho más allá de lo que estaba a disposición de Legendre:

Valores hasta${\displaystyle \pi (10^{29})}$(las dos primeras columnas) se conocen con exactitud; los valores de la tercera y cuarta columnas se estiman utilizando la función R de Riemann .

• Weisstein, Eric W. "La constante de Legendre" . MundoMatemático .