Nudo legendario

En matemáticas , un nudo legendriano a menudo se refiere a una incrustación suave del círculo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, que es tangente a la estructura de contacto estándar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Es el caso de menor dimensión de una subvariedad legendriana , que es una incrustación de una variedad k-dimensional en una variedad de contacto (2k+1)-dimensional que siempre es tangente al hiperplano de contacto.

Dos nudos suaves son equivalentes si existe una forma de transformar suavemente uno en el otro. Es decir, si existe una transición suave entre ambos.

De forma similar, dos nudos legendrianos son equivalentes si existe una manera de transformarlos suavemente en el otro, de modo que cualquier nudo intermedio siga siendo un nudo legendriano. Dos nudos legendrianos equivalentes son equivalentes como nudos suaves, pero lo contrario es falso.

Muchos nudos legendrianos no equivalentes pueden distinguirse considerando sus invariantes de Thurston-Bennequin y su número de rotación , conocidos conjuntamente como los "invariantes clásicos" de los nudos legendrianos. Se han construido invariantes más sofisticados, incluyendo uno construido combinatoriamente por Chekanov y otro utilizando discos holomorfos por Eliashberg. Este invariante de Chekanov-Eliashberg produce un invariante para bucles de nudos legendrianos al considerar la monodromía de los bucles. Esto ha dado como resultado bucles no contraíbles de nudos legendrianos que son contraíbles en el espacio de todos los nudos.

Cualquier nudo legendriano puede ser${\displaystyle C^{0}}$perturbado a un nudo transversal (un nudo transversal a una estructura de contacto) al empujar en una dirección transversal a los planos de contacto. El conjunto de clases de isomorfismo de nudos legendrianos módulo estabilizaciones legendrianas negativas está en biyección con el conjunto de nudos transversales.

• Geiges, Hansjörg (2008). Una introducción a la topología de contactos; Volumen 109 de Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag.  94.ISBN​ 978-0-521-86585-2.
• Casacuberta, Carlos (2001). Congreso Europeo de Matemáticas: Barcelona, ​​10 al 14 de julio de 2000 . Birkhäuser. pag.  526.ISBN​ 978-3764364182.
• Epstein, J.; Fuchs, D.; Meyer, M. (2001). "Invariantes de Chekanov-Eliashberg y aproximaciones transversales de nudos legendrianos" . Pacific Journal of Mathematics . 201 (1): 89– 106. doi : 10.2140/pjm.2001.201.89 .
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• Sabloff, Joshua M. (2009), "¿Qué es... un nudo legendriano?" (PDF) , AMS Notices , 56 ( 10): 1282–1284.

• El atlas de nudos legendarianos