El problema totiente de Lehmer

Problema sin resolver en matemáticas

¿Puede la función totiente de un número compuesto?${\displaystyle n}$dividir${\displaystyle n-1}$¿

Más problemas sin resolver en matemáticas

En matemáticas, el problema totiente de Lehmer pregunta si existe algún número compuesto n tal que la función totiente de Euler φ ( n ) divida a n − 1 . Este es un problema sin resolver.

Se sabe que φ ( n ) = n − 1 si y solo si n es primo. Por lo tanto , para todo número primo n , tenemos φ ( n ) = n − 1 y, en particular, φ ( n ) divide a n − 1. DH Lehmer preguntó en 1932 si existen números compuestos con esta propiedad. ^{[ 1 ]}

• Lehmer demostró que si existe alguna solución compuesta n , debe ser impar, libre de cuadrados y divisible por al menos siete primos distintos (es decir , ω ( n ) ≥ 7 ). Dicho número también debe ser un número de Carmichael .
• En 1980, Cohen y Hagis demostraron que, para cualquier solución n del problema, n > 10 ²⁰ y ω ( n ) ≥ 14 . ^{[ 2 ]}
• En 1988, Hagis demostró que si 3 divide a cualquier solución n , entonces n > 10 ^{1 ‍ 937 ‍ 042} y ω ( n ) ≥ 298848 . ^{[ 3 ]} Posteriormente, Burcsi, Czirbusz y Farkas mejoraron este resultado, demostrando que si 3 divide a cualquier solución n , entonces n > 10 ^{360 ‍ 000 ‍ 000} y ω ( n ) ≥ 40 ‍ 000 ‍ 000 . ^{[ 4 ]}
• Un resultado de Luca y Pomerance de 2011 afirma que el número de soluciones al problema menores que X es como máximo X ^1/2 / (log X ) ^{1/2 + o(1)} . ^{[ 5 ]}
• En 2019, Burek y Żmija demostraron que cualquier solución n satisface n < 2 ^{2 ω ( n )} - 2 ^{2 ω ( n )-1} . ^{[ 6 ]}

• ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}