Matriz de Lehmer

En matemáticas , particularmente en teoría de matrices , la matriz de Lehmer n×n (llamada así por Derrick Henry Lehmer ) es la matriz simétrica constante definida por

${\displaystyle A_{ij}={\begin{cases}i/j,&j\geq i\\j/i,&j<i.\end{cases}}}$

Alternativamente, esto puede escribirse como

${\displaystyle A_{ij}={\frac {{\mbox{mín}}(i,j)}{{\mbox{máx}}(i,j)}}.}$

Como se puede ver en la sección de ejemplos, si A es una matriz de Lehmer n×n y B es una matriz de Lehmer m×m , entonces A es una submatriz de B siempre que m > n . Los valores de los elementos disminuyen hacia cero a partir de la diagonal, donde todos los elementos tienen valor 1.

La inversa de una matriz de Lehmer es una matriz tridiagonal , donde la superdiagonal y la subdiagonal tienen entradas estrictamente negativas. Consideremos nuevamente las matrices de Lehmer n×n A y m×m B , donde m > n . Una propiedad bastante peculiar de sus inversas es que A ⁻¹ es casi una submatriz de B ⁻¹ , excepto por el elemento A ⁻¹ _n,n , que no es igual a B ⁻¹ _n,n .

Una matriz de Lehmer de orden n tiene traza n .

Las matrices de Lehmer 2×2, 3×3 y 4×4 y sus inversas se muestran a continuación.

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}A_{2}={\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}};&A_{2}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3\\-2/3&{\color {Brown}{\mathbf {4/3} }}\end{pmatrix}};\\\\A_{3}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3\\1/2&1&2/3\\1/3&2/3&1\end{pmatrix}};&A_{3}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&\\-2/3&32/15&-6/5\\&-6/5&{\color {Brown}{\mathbf {9/5} }}\end{pmatrix}};\\\\A_{4}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3&1/4\\1/2&1&2/3&1/2\\1/3&2/3&1&3/4\\1/4&1/2&3/4&1\end{pmatrix}};&A_{4}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&&\\-2/3&32/15&-6/5&\\&-6/5&108/35&-12/7\\&&-12/7&{\color {Brown}{\mathbf {16/7} }}\end{pmatrix}}.\\\end{array}}}$

• Derrick Henry Lehmer
• Matriz de Hilbert