secuencia de Lehmer

En matemáticas , una secuencia de Lehmer${\displaystyle U_{n}({\sqrt {R}},Q)}$o${\displaystyle V_{n}({\sqrt {R}},Q)}$es una generalización de una secuencia de Lucas${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$o${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$, permitiendo la raíz cuadrada de un entero ^R en lugar del entero P. [ ^{1 ]}

Para asegurar que el valor sea siempre un número entero, cada segundo término de una sucesión de Lehmer se divide por √ R en comparación con la sucesión de Lucas correspondiente. Es decir, cuando R = P ^2, las sucesiones de Lehmer y Lucas se relacionan de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}P\,U_{2n}({\sqrt {P^{2}}},Q)&=U_{2n}(P,Q)&U_{2n+1}({\sqrt {P^{2}}},Q)&=U_{2n+1}(P,Q)\\V_{2n}({\sqrt {P^{2}}},Q)&=V_{2n}(P,Q)&P\,V_{2n+1}({\sqrt {P^{2}}},Q)&=V_{2n+1}(P,Q)\end{aligned}}}$

Si a y b son números complejos con

${\displaystyle a+b={\sqrt {R}}}$

${\displaystyle ab=Q}$

bajo las siguientes condiciones:

• Q y R son enteros no nulos primos entre sí.
• ${\displaystyle a/b}$no es una raíz de unidad .

Entonces, los números de Lehmer correspondientes son:

${\displaystyle U_{n}({\sqrt {R}},Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{ab}}}$

para n impar , y

${\displaystyle U_{n}({\sqrt {R}},Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a^{2}-b^{2}}}}$

para n par .

Sus números complementarios son:

${\displaystyle V_{n}({\sqrt {R}},Q)={\frac {a^{n}+b^{n}}{a+b}}}$

para n impar y

${\displaystyle V_{n}({\sqrt {R}},Q)=a^{n}+b^{n}}$

para n par.

Los números de Lehmer forman una relación de recurrencia lineal con

${\displaystyle U_{n}=(R-2Q)U_{n-2}-Q^{2}U_{n-4}=(a^{2}+b^{2})U_{n-2}-a^{2}b^{2}U_{n-4}}$

con valores iniciales${\displaystyle U_{0}=0,\,U_{1}=1,\,U_{2}=1,\,U_{3}=RQ=a^{2}+ab+b^{2}}$. De manera similar, la secuencia compañera satisface

${\displaystyle V_{n}=(R-2Q)V_{n-2}-Q^{2}V_{n-4}=(a^{2}+b^{2})V_{n-2}-a^{2}b^{2}V_{n-4}}$

con valores iniciales${\displaystyle V_{0}=2,\,V_{1}=1,\,V_{2}=R-2Q=a^{2}+b^{2},\,V_{3}=R-3Q=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Todas las recurrencias de la secuencia de Lucas se aplican a las secuencias de Lehmer si se dividen en casos para n par e impar y se incorporan los factores apropiados de √ R. Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{2n}({\sqrt {R}},Q)&={\phantom {R\,}}U_{2n-1}({\sqrt {R}},Q)-Q\,U_{2n-2}({\sqrt {R}},Q)&U_{2n+1}({\sqrt {R}},Q)&=R\,U_{2n}({\sqrt {R}},Q)-Q\,U_{2n-1}({\sqrt {R}},Q)\\V_{2n}({\sqrt {R}},Q)&=R\,V_{2n-1}({\sqrt {R}},Q)-Q\,V_{2n-2}({\sqrt {R}},Q)&V_{2n+1}({\sqrt {R}},Q)&={\phantom {R\,}}V_{2n}({\sqrt {R}},Q)-Q\,V_{2n-1}({\sqrt {R}},Q)\end{aligned}}}$