Notación de Leibniz

En cálculo , la notación de Leibniz , nombrada en honor al filósofo y matemático alemán del siglo XVII Gottfried Wilhelm Leibniz , utiliza los símbolos dx y dy para representar incrementos infinitesimales (o infinitesimales ) de x e y , respectivamente , al igual que Δx y Δy representan incrementos finitos de x e y , respectivamente. ^{[ 1 ]}

Consideremos y como una función de una variable x , o y = f ( x ) . Si este es el caso, entonces la derivada de y con respecto a x , que más tarde se consideró como el límite

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},}$

era, según Leibniz, el cociente de un incremento infinitesimal de y por un incremento infinitesimal de x , o

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x),}$

donde el lado derecho es la notación de Joseph-Louis Lagrange para la derivada de f en x . Los incrementos infinitesimales se denominan diferenciales . Relacionada con esto está la integral en la que se suman los incrementos infinitesimales (por ejemplo, para calcular longitudes, áreas y volúmenes como sumas de pequeñas partes), para la cual Leibniz también proporcionó una notación muy similar que involucra los mismos diferenciales, una notación cuya eficiencia resultó decisiva en el desarrollo de las matemáticas continentales europeas.

Leibniz's concept of infinitesimals, long considered to be too imprecise to be used as a foundation of calculus, was eventually replaced by rigorous concepts developed by Weierstrass and others in the 19th century. Consequently, Leibniz's quotient notation was re-interpreted to stand for the limit of the modern definition. However, in many instances, the symbol did seem to act as an actual quotient would and its usefulness kept it popular even in the face of several competing notations. Several different formalisms were developed in the 20th century that can give rigorous meaning to notions of infinitesimals and infinitesimal displacements, including nonstandard analysis, tangent space, O notation and others.

The derivatives and integrals of calculus can be packaged into the modern theory of differential forms, in which the derivative is genuinely a ratio of two differentials, and the integral likewise behaves in exact accordance with Leibniz notation. However, this requires that derivative and integral first be defined by other means, and as such expresses the self-consistency and computational efficacy of the Leibniz notation rather than giving it a new foundation.

The Newton–Leibniz approach to infinitesimal calculus was introduced in the 17th century. While Newton worked with fluxions and fluents, Leibniz based his approach on generalizations of sums and differences.^[2] Leibniz adapted the integral symbol${\displaystyle \textstyle \int }$de la s alargada inicial de la palabra latina ſumma (" suma ") tal como se escribía en ese momento. Considerando las diferencias como la operación inversa de la suma, ^{[ 3 ]} utilizó el símbolo d , la primera letra del latín differentia , para indicar esta operación inversa. ^{[ 2 ]} Leibniz era meticuloso con la notación, habiendo pasado años experimentando, ajustando, rechazando y carteándose con otros matemáticos sobre ellas. ^{[ 4 ]} Las notaciones que utilizó para el diferencial de y variaron sucesivamente desde ω , l y ⁠ y / d ⁠ hasta que finalmente se decidió por dy . ^{[ 5 ]} Su signo integral apareció públicamente por primera vez en el artículo " De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum " ("Sobre una geometría oculta y análisis de indivisibles e infinitos"), publicado en Acta Eruditorum en junio de 1686, ^{[ 6 ] [ 7 ]} pero lo había estado usando en manuscritos privados al menos desde 1675. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} Leibniz usó dx por primera vez en el artículo " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " también publicado en Acta Eruditorum en 1684. ^{[ 11 ]} Si bien el símbolo ⁠ dx / dy ⁠ aparece en manuscritos privados de 1675, ^{[ 12 ] [ 13 ]} no aparece en esta forma en ninguna de las obras publicadas mencionadas anteriormente. Sin embargo, Leibniz sí usó formas como dy ad dx y dy : dx en la impresión. ^{[ 11 ]} 

A finales del siglo XIX, los seguidores de Weierstrass dejaron de interpretar literalmente la notación de Leibniz para derivadas e integrales. Es decir, los matemáticos consideraban que el concepto de infinitesimales contenía contradicciones lógicas en su desarrollo. Varios matemáticos del siglo XIX (Weierstrass y otros) hallaron métodos lógicamente rigurosos para tratar derivadas e integrales sin infinitesimales, utilizando límites como se muestra arriba, mientras que Cauchy empleó tanto infinitesimales como límites (véase Cours d'Analyse ). No obstante, la notación de Leibniz sigue siendo de uso general. Si bien no es necesario interpretarla literalmente, suele ser más sencilla que otras alternativas cuando se utiliza la técnica de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales. En aplicaciones físicas, por ejemplo, se puede considerar que f ( x ) se mide en metros por segundo y dx en segundos, de modo que f ( x )dx se expresa en metros, al igual que el valor de su integral definida. De esa forma, la notación de Leibniz está en armonía con el análisis dimensional .

Supongamos que una variable dependiente y representa una función f de una variable independiente x , es decir,

${\displaystyle y=f(x).}$

Entonces, la derivada de la función f , en la notación de Leibniz para la diferenciación , se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,{\text{ o }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ o }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}.}$

La expresión de Leibniz, también escrita a veces como dy / dx , es una de las diversas notaciones utilizadas para derivadas y funciones derivadas. Una alternativa común es la notación de Lagrange.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x).}$

Otra alternativa es la notación de Newton , que se usa a menudo para derivadas con respecto al tiempo (como la velocidad ), que requiere colocar un punto sobre la variable dependiente (en este caso, x ):

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}.}$

La notación de Lagrange, denominada " prima ", resulta especialmente útil en el análisis de funciones derivadas y tiene la ventaja de ofrecer una forma natural de representar el valor de la función derivada en un valor específico. Sin embargo, la notación de Leibniz posee otras virtudes que la han mantenido popular a lo largo de los años.

En su interpretación moderna, la expresión ⁠ dy / dx ⁠ no debe leerse como la división de dos cantidades dx y dy (como Leibniz lo había imaginado); más bien, toda la expresión debe verse como un solo símbolo que es una abreviatura de

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

(note Δ vs. d, where Δ indicates a finite difference).

The expression may also be thought of as the application of the differential operator⁠d/dx⁠ (again, a single symbol) to y, regarded as a function of x. This operator is written D in Euler's notation. Leibniz did not use this form, but his use of the symbol d corresponds fairly closely to this modern concept.

While there is traditionally no division implied by the notation (but see Nonstandard analysis), the division-like notation is useful since in many situations, the derivative operator does behave like a division, making some results about derivatives easy to obtain and remember.^[14] This notation owes its longevity to the fact that it seems to reach to the very heart of the geometrical and mechanical applications of the calculus.^[15]

Leibniz introdujo el símbolo integral para la integración ^{[ 19 ]} (o "antidiferenciación") que ahora se usa comúnmente en la actualidad:${\displaystyle \displaystyle \int }$

La notación se introdujo en 1675 en sus escritos privados; ^{[ 20 ] [ 21 ]} apareció públicamente por primera vez en el artículo " De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum " (Sobre una geometría oculta y análisis de indivisibles e infinitos), publicado en Acta Eruditorum en junio de 1686. ^{[ 22 ] [ 23 ]} El símbolo se basó en el carácter ſ ( s larga ) y fue elegido porque Leibniz pensaba en la integral como una suma infinita de sumandos infinitesimales .

Una razón por la que las notaciones de Leibniz en cálculo han perdurado tanto tiempo es que permiten recordar fácilmente las fórmulas apropiadas utilizadas para la diferenciación y la integración. Por ejemplo, la regla de la cadena : supongamos que la función g es diferenciable en x e y = f ( u ) es diferenciable en u = g ( x ) . Entonces la función compuesta y = f ( g ( x )) es diferenciable en x y su derivada puede expresarse en notación de Leibniz como, ^{[ 24 ]}

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Esto se puede generalizar para tratar con compuestos de varias funciones apropiadamente definidas y relacionadas, u ₁ , u ₂ , ..., u _n y se expresaría como,

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.}$

Además, la fórmula de integración por sustitución puede expresarse mediante ^{[ 25 ].}

${\displaystyle \int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,}$

donde x se considera una función de una nueva variable u y la función y de la izquierda se expresa en términos de x, mientras que de la derecha se expresa en términos de u .

Si y = f ( x ) donde f es una función diferenciable que es invertible , la derivada de la función inversa, si existe, puede darse por, ^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}},}$

donde los paréntesis se añaden para enfatizar el hecho de que la derivada no es una fracción.

Sin embargo, al resolver ecuaciones diferenciales, es fácil pensar en dy s y dx s como separables. Uno de los tipos más simples de ecuaciones diferenciales es ^{[ 27 ].}

${\displaystyle M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,}$

donde M y N son funciones continuas. La resolución (implícita) de dicha ecuación se puede realizar examinando la ecuación en su forma diferencial ,

${\displaystyle M(x)dx+N(y)dy=0}$

y la integración para obtener

${\displaystyle \int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.}$

Cuando sea posible, reescribir una ecuación diferencial en esta forma y aplicar el argumento anterior se conoce como la técnica de separación de variables para resolver dichas ecuaciones.

En cada uno de estos casos, la notación de Leibniz para una derivada parece comportarse como una fracción, aunque, en su interpretación moderna, no lo sea.

En la década de 1960, basándose en trabajos previos de Edwin Hewitt y Jerzy Łoś , Abraham Robinson desarrolló explicaciones matemáticas para los infinitesimales de Leibniz que eran aceptables según los estándares de rigor de la época, y desarrolló un análisis no estándar basado en estas ideas. Los métodos de Robinson son utilizados solo por una minoría de matemáticos. Jerome Keisler escribió un libro de texto de cálculo para estudiantes de primer año, * Elementary calculus: an infinitesimal approach* , basado en el enfoque de Robinson.

Desde el punto de vista de la teoría infinitesimal moderna, Δ x es un incremento infinitesimal de x , Δ y es el incremento de y correspondiente , y la derivada es la parte estándar de la razón infinitesimal:

${\displaystyle f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}}$.

Entonces uno establece${\displaystyle dx=\Delta x}$,${\displaystyle dy=f'(x)dx}$, de modo que por definición,${\displaystyle f'(x)}$es la razón de dy por dx .

De manera similar, aunque la mayoría de los matemáticos ahora consideran una integral

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

como límite

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,}$

donde Δ x es un intervalo que contiene x _i , Leibniz lo consideró como la suma (el signo integral denotaba sumatoria para él) de infinitas cantidades infinitesimales f ( x ) dx  . Desde el punto de vista del análisis no estándar, es correcto considerar la integral como la parte estándar de dicha suma infinita.

La contrapartida necesaria para obtener la precisión de estos conceptos es que el conjunto de números reales debe extenderse al conjunto de números hiperreales .

Leibniz experimentó con muchas notaciones diferentes en diversas áreas de las matemáticas. Consideraba que una buena notación era fundamental en la búsqueda de las matemáticas. En una carta a l'Hôpital en 1693 dice: ^{[ 28 ]}

Uno de los secretos del análisis consiste en la característica, es decir, en el arte de emplear hábilmente los signos disponibles, y usted observará, señor, en el pequeño recuadro [sobre determinantes] que Vieta y Descartes no conocieron todos los misterios.

Con el tiempo, perfeccionó sus criterios para una buena notación y llegó a comprender el valor de «adoptar simbolismos que pudieran colocarse en una línea como en la tipografía ordinaria, sin necesidad de ampliar los espacios entre líneas para dar cabida a símbolos con partes extensas». ^{[ 29 ]} Por ejemplo, en sus primeros trabajos utilizó mucho un vínculo para indicar la agrupación de símbolos, pero más tarde introdujo la idea de usar pares de paréntesis para este propósito, satisfaciendo así a los tipógrafos, que ya no tenían que ampliar los espacios entre líneas en una página y logrando que las páginas tuvieran un aspecto más atractivo. ^{[ 30 ]}

Muchos de los más de 200 nuevos símbolos introducidos por Leibniz todavía se utilizan hoy en día. ^{[ 31 ]} Además de los diferenciales dx , dy y el signo integral ( ∫ ) ya mencionados, también introdujo los dos puntos (:) para la división, el punto medio (⋅) para la multiplicación, los signos geométricos para la semejanza (~) y la congruencia (≅), el uso del signo de igualdad de Recorde (=) para proporciones (reemplazando la notación :: de Oughtred ) y la notación de doble sufijo para determinantes. ^{[ 28 ]}

• Controversia sobre el cálculo de Leibniz-Newton
• Notación para la diferenciación

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2010), Cálculo / Primeros trascendentales / Variable única , Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
• Cajori, Florian (1993) [1928], Historia de las notaciones matemáticas , Nueva York: Dover, ISBN 0-486-67766-4
• Katz, Victor J. (1993), Historia de las matemáticas / Una introducción (2.ª  ed.), Addison Wesley Longman, ISBN 978-0-321-01618-8
• Mazur, Joseph (2014), Símbolos esclarecedores / Una breve historia de la notación matemática y sus poderes ocultos , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-17337-5
• Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (  Edición alternativa), Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-87150-341-7