Operador de Leibniz

En lógica algebraica abstracta , una rama de la lógica matemática , el operador de Leibniz es una herramienta utilizada para clasificar sistemas deductivos , que tienen una definición técnica precisa y capturan un gran número de lógicas. El operador de Leibniz fue introducido por Wim Blok y Don Pigozzi, dos de los fundadores del campo, como un medio para abstraer el conocido proceso de Lindenbaum-Tarski , que conduce a la asociación de las álgebras de Boole con el cálculo proposicional clásico , y hacerlo aplicable a una variedad lo más amplia posible de lógicas oracionales . Es un operador que asigna a una teoría dada de una lógica oracional dada, percibida como un álgebra de términos con una operación de consecuencia en su universo, la mayor congruencia en el álgebra que sea compatible con la teoría.

En este artículo, introducimos el operador de Leibniz en el caso especial del cálculo proposicional clásico, luego lo abstraemos a la noción general aplicada a una lógica oracional arbitraria y, finalmente, resumimos algunas de las consecuencias más importantes de su uso en la teoría de la lógica algebraica abstracta.

Dejar

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\langle {\rm {Fm}},\vdash _{\mathcal {S}}\rangle }$

denota el cálculo proposicional clásico. Según el proceso clásico de Lindenbaum-Tarski, dada una teoría de , si denota la relación binaria en el conjunto de fórmulas de , definida por ${\estilo de visualización T}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \equiv_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \phi \equiv _{T}\psi}$Si y sólo si${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\phi \leftrightarrow \psi ,}$

donde denota el conectivo de equivalencia proposicional clásico usual, resulta entonces una congruencia en el álgebra de fórmulas. Además, el cociente es un álgebra de Boole y cualquier álgebra de Boole puede formarse de esta manera. ${\displaystyle \flecha izquierda-derecha}$${\displaystyle \equiv_{T}}$${\displaystyle {\rm {Fm}}/{\equiv _{T}}}$

Así, la variedad de álgebras de Boole, que es, en la terminología de la lógica algebraica , la semántica algebraica equivalente (contraparte algebraica) del cálculo proposicional clásico, es la clase de todas las álgebras formadas tomando cocientes apropiados de álgebras de términos por esos tipos especiales de congruencias.

Tenga en cuenta que la condición

${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\phi \leftrightarrow \psi }$

que define es equivalente a la condición ${\displaystyle \phi \equiv _{T}\psi}$

para cada fórmula : si y sólo si .${\estilo de visualización \chi}$${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\phi \leftrightarrow \chi }$${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\psi \leftrightarrow \chi }$

Pasando ahora a una lógica sentencial arbitraria

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\langle {\rm {Fm}},\vdash _{\mathcal {S}}\rangle,}$

Dada una teoría , la congruencia de Leibniz asociada con se denota por y se define, para todo , por ${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización T}$${\displaystyle \Omega (T)}$${\displaystyle \phi ,\psi \in {\rm {Fm}}}$

${\displaystyle \phi \Omega (T)\psi}$

si y solo si, para cada fórmula que contiene una variable y posiblemente otras variables en la lista , y todas las fórmulas que forman una lista de la misma longitud que la de , tenemos que ${\displaystyle \alpha (x,{\vec {y}})}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle {\vec {y}}}$${\displaystyle {\vec {\chi }}}$${\displaystyle {\vec {y}}}$

${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\alpha (\phi ,{\vec {\chi }})}$si y sólo si .${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\alpha (\psi ,{\vec {\chi }})}$

Resulta que esta relación binaria es una relación de congruencia en el álgebra de fórmulas y, de hecho, puede caracterizarse alternativamente como la congruencia más grande en el álgebra de fórmulas que es compatible con la teoría , en el sentido de que si y , entonces debemos tener también . Es esta congruencia la que juega el mismo papel que la congruencia utilizada en el proceso tradicional de Lindenbaum-Tarski descrito anteriormente en el contexto de una lógica oracional arbitraria. ${\estilo de visualización T}$${\displaystyle \phi \Omega (T)\psi}$${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\phi }$${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\psi }$

Sin embargo, no es el caso de que para lógicas oracionales arbitrarias los cocientes de las álgebras de términos por estas congruencias de Leibniz sobre diferentes teorías produzcan todas las álgebras de la clase que forma la contraparte algebraica natural de la lógica oracional. Este fenómeno ocurre sólo en el caso de lógicas "amables" y uno de los principales objetivos de la lógica algebraica abstracta es hacer que esta noción vaga de una lógica que es "amable", en este sentido, sea matemáticamente precisa.

El operador de Leibniz

${\estilo de visualización \Omega}$

es el operador que asigna una teoría de una lógica dada a la congruencia de Leibniz ${\estilo de visualización T}$

${\displaystyle \Omega (T),}$

asociado con la teoría. Así, formalmente,

${\displaystyle \Omega :\mathrm {Th} ({\mathcal {S}})\rightarrow {\rm {Con}}({\rm {Fm}})}$

es un mapeo de la colección

${\displaystyle {\rm {Th}}({\mathcal {S}})}$de las teorías de una lógica sentencial

${\displaystyle {\mathcal {S}}}$A la colección

${\displaystyle {\rm {Con}}({\rm {Fm}})}$

de todas las congruencias en el álgebra de fórmulas de la lógica sentencial. ${\displaystyle {\rm {Fm}}}$

El operador de Leibniz y el estudio de varias de sus propiedades que pueden o no cumplirse en lógicas oracionales particulares han dado lugar a lo que hoy se conoce como la jerarquía algebraica abstracta o jerarquía de Leibniz de lógicas oracionales. Las lógicas se clasifican en varios niveles de esta jerarquía dependiendo de cuán fuerte sea el vínculo entre la lógica y su contraparte algebraica.

Las propiedades del operador de Leibniz que ayudan a clasificar las lógicas son la monotonía, la inyectividad, la continuidad y la conmutatividad con sustituciones inversas. Por ejemplo, las lógicas protoalgebraicas, que forman la clase más amplia de la jerarquía –es decir, la que se encuentra en la parte inferior de la jerarquía y contiene todas las demás clases– se caracterizan por la monotonía del operador de Leibniz en sus teorías. Otras clases notables están formadas por las lógicas equivalenciales, las lógicas débilmente algebrables y las lógicas algebrables, entre otras.

Existe una generalización del operador de Leibniz, en el contexto de la lógica algebraica abstracta categórica, que permite aplicar una amplia variedad de técnicas que antes sólo eran aplicables en el marco de la lógica oracional a lógicas formalizadas como π {\displaystyle \pi } -instituciones. El marco de las -instituciones tiene un alcance significativamente más amplio que el marco de las lógicas oracionales porque permite incorporar múltiples firmas y cuantificadores en el lenguaje y proporciona un mecanismo para manejar lógicas que no están basadas sintácticamente. ${\estilo de visualización \pi}$

• D. Pigozzi (2001). "Lógica algebraica abstracta". En M. Hazewinkel (ed.). Enciclopedia de matemáticas: Suplemento Volumen III . Springer. págs. 2–13. ISBN 1-4020-0198-3.
• Font, JM, Jansana, R., Pigozzi, D., (2003), Un estudio de la lógica algebraica abstracta, Studia Logica 74: 13–79.
• Janusz Czelakowski (2001). Lógica protoalgebraica . Springer. ISBN 978-0-7923-6940-0.

• Entrada de Ramon Jansana sobre "Lógica proposicional algebraica" en la Enciclopedia de filosofía de Stanford