Coordenadas de Lemaître

Las coordenadas de Lemaître son un conjunto particular de coordenadas para la métrica de Schwarzschild —una solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío— introducida por Georges Lemaître en 1932. ^{[ 1 ]} El cambio de coordenadas de Schwarzschild a coordenadas de Lemaître elimina la singularidad de coordenadas en el radio de Schwarzschild .

La expresión original de coordenadas de Schwarzschild de la métrica de Schwarzschild, en unidades naturales ( c = G = 1 ), se da como

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{r_{s} \over r}\right)dt^{2}-{dr^{2} \over 1-{r_{s} \over r}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)\;,}$

dónde

${\displaystyle ds^{2}}$es el intervalo invariante ;

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$es el radio de Schwarzschild;

${\displaystyle M}$es la masa del cuerpo central;

${\displaystyle t,r,\theta ,\phi }$son las coordenadas de Schwarzschild (que se convierten asintóticamente en coordenadas esféricas planas );

${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz ;

y${\displaystyle G}$es la constante gravitacional .

Esta métrica presenta una singularidad de coordenadas en el radio de Schwarzschild.${\displaystyle r=r_{s}}$.

Georges Lemaître fue el primero en demostrar que esto no es una singularidad física real, sino simplemente una manifestación del hecho de que las coordenadas estáticas de Schwarzschild no pueden realizarse con cuerpos materiales dentro del radio de Schwarzschild. En efecto, dentro del radio de Schwarzschild todo tiende hacia el centro y es imposible que un cuerpo físico mantenga un radio constante.

Una transformación del sistema de coordenadas de Schwarzschild desde${\displaystyle \{t,r\}}$a las nuevas coordenadas${\displaystyle \{\tau ,\rho \},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d\tau =dt+{\sqrt {\frac {r_{s}}{r}}}\,\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr~\\d\rho =dt+{\sqrt {\frac {r}{r_{s}}}}\,\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr~\end{aligned}}}$

(el numerador y el denominador se intercambian dentro de las raíces cuadradas), conduce a la expresión de coordenadas de Lemaître de la métrica,

${\displaystyle ds^{2}=d\tau ^{2}-{\frac {r_{s}}{r}}d\rho ^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$

dónde

${\displaystyle r=\left[{\frac {3}{2}}(\rho -\tau )\right]^{2/3}r_{s}^{1/3}\;.}$

La métrica en coordenadas de Lemaître no es singular en el radio de Schwarzschild.${\displaystyle r=r_{s}}$. Esto corresponde al punto${\displaystyle {\frac {3}{2}}(\rho -\tau )=r_{s}}$. Persiste una auténtica singularidad gravitacional en el centro, donde${\displaystyle \rho -\tau =0}$, que no se puede eliminar mediante un cambio de coordenadas.

La coordenada temporal utilizada en las coordenadas de Lemaître es idéntica a la coordenada temporal de "gota de lluvia" utilizada en las coordenadas de Gullstrand-Painlevé . Las otras tres: las coordenadas radial y angular${\displaystyle r,\theta,\phi}$Las coordenadas de Gullstrand-Painlevé son idénticas a las de la carta de Schwarzschild. Es decir, Gullstrand-Painlevé aplica una transformación de coordenadas para pasar de la carta de Schwarzschild al tiempo.${\displaystyle t}$a la coordenada de la gota de lluvia${\displaystyle t_{r}=\tau }$A continuación, Lemaître aplica una segunda transformación de coordenadas al componente radial, para eliminar la entrada fuera de la diagonal en el gráfico de Gullstrand-Painlevé.

La notación${\displaystyle \tau }$El término utilizado en este artículo para la coordenada temporal no debe confundirse con el tiempo propio . Es cierto que${\displaystyle \tau }$Proporciona el tiempo adecuado para los observadores que caen radialmente; no proporciona el tiempo adecuado para los observadores que viajan a lo largo de otras geodésicas.

Las trayectorias con ρ constante son geodésicas temporales, donde τ es el tiempo propio a lo largo de estas geodésicas. Representan el movimiento de partículas en caída libre que parten con velocidad cero en el infinito. En cualquier punto, su velocidad es igual a la velocidad de escape desde ese punto.

El sistema de coordenadas de Lemaître es síncrono ; es decir, la coordenada temporal global de la métrica define el tiempo propio de los observadores que se mueven conjuntamente. Los cuerpos que caen radialmente alcanzan el radio de Schwarzschild y el centro en un tiempo propio finito.

Las geodésicas nulas radiales corresponden a${\displaystyle ds^{2}=0}$, que tienen soluciones${\displaystyle d\tau =\pm \beta d\rho }$. Aquí,${\displaystyle \beta }$es simplemente una abreviatura de

${\displaystyle \beta \equiv \beta (r)={\sqrt {r_{s} \over r}}}$

Los dos signos corresponden a rayos de luz que se mueven hacia afuera y hacia adentro, respectivamente. Reexpresando esto en términos de la coordenada${\displaystyle r}$da

${\displaystyle dr=\left(\pm 1-{\sqrt {r_{s} \over r}}\right)d\tau }$

Tenga en cuenta que${\displaystyle dr<0}$cuando${\displaystyle r<r_{s}}$Esto se interpreta como que ninguna señal puede escapar del interior del radio de Schwarzschild, y los rayos de luz emitidos radialmente, ya sea hacia adentro o hacia afuera, terminan en el origen como tiempo propio.${\displaystyle \tau }$aumenta.

El mapa de coordenadas de Lemaître no es geodésicamente completo . Esto se puede observar trazando geodésicas nulas radiales que se mueven hacia afuera hacia atrás en el tiempo. Las geodésicas que se mueven hacia afuera corresponden al signo más en lo anterior. Selección de un punto de partida${\displaystyle r>r_{s}}$en${\displaystyle \tau =0}$, la ecuación anterior se integra a${\displaystyle r\to +\infty }$como${\displaystyle \tau \to +\infty }$. Retrocediendo en el tiempo adecuado, uno tiene${\displaystyle r\to r_{s}}$como${\displaystyle \tau \to -\infty }$. Comenzando en${\displaystyle r<r_{s}}$y al integrar hacia adelante, se llega a${\displaystyle r=0}$en tiempo propio finito. Retrocediendo, uno tiene, una vez más, que${\displaystyle r\to r_{s}}$como${\displaystyle \tau \to -\infty }$. Por lo tanto, se concluye que, aunque la métrica no es singular en${\displaystyle r=r_{s}}$, todas las geodésicas que viajan hacia afuera se extienden hasta${\displaystyle r=r_{s}}$como${\displaystyle \tau \to -\infty }$.

• Coordenadas de Kruskal-Szekeres
• Coordenadas de Eddington-Finkelstein
• Métrica de Lemaître-Tolman
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general
• Tensor de energía-tensión
• Tensor métrico (relatividad general)
• momento angular relativista