La conjetura de Lemoine

En teoría de números , la conjetura de Lemoine , también conocida a veces como conjetura de Levy , afirma que todos los enteros impares mayores que 5 pueden representarse como la suma de un número primo impar y un semiprimo par .

La conjetura fue propuesta por primera vez por Émile Lemoine en 1895, pero MathWorld la atribuyó erróneamente a Hyman Levy, quien la consideró en la década de 1960. ^{[ 1 ]}

Algebraicamente, la conjetura afirma que${\displaystyle 2n+1=p+2q}$ siempre tiene solución en números primos${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$(no necesariamente distinto) para${\displaystyle n>2}$La conjetura de Lemoine implica la conjetura débil de Goldbach .

En 2008, Zhi-Wei Sun conjeturó de manera similar que todos los enteros impares mayores que 3 pueden representarse como la suma de un número primo y el producto de dos enteros positivos consecutivos; es decir,${\displaystyle 2n+1=p+m(m+1)}$a pesar de${\displaystyle n>1}$. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, el número entero impar${\displaystyle 47}$se puede expresar como la suma de un número primo y un semiprimo par de cuatro maneras diferentes:

${\displaystyle 47=13+2\cdot 17=37+2\cdot 5=41+2\cdot 3=43+2\cdot 2}$

El número de maneras en que esto puede hacerse viene dado por (secuencia A046927 en la OEIS ) . La conjetura de Lemoine es que esta secuencia no contiene ceros después de los tres primeros.

Según MathWorld , la conjetura ha sido verificada por Corbitt hasta 10 ⁹ . ^{[ 1 ]} Una publicación de blog de junio de 2019 afirmó además haber verificado la conjetura hasta 10 ¹⁰ . ^{[ 3 ]}

Agama y Gensel afirmaron haber presentado una prueba en 2017, pero posteriormente se descubrió que era errónea. ^{[ 4 ]}

• La conjetura de Lemoine y sus extensiones

• Emile Lemoine, L'intermédiaire des mathématiciens , 1 (1894), 179; ibídem 3 (1896), 151.
• H. Levy, "Sobre la conjetura de Goldbach", Math. Gaz. 47 (1963): 274
• L. Hodges, «Una conjetura de Goldbach menos conocida», Math. Mag. , 66 (1993): 45–47. doi : 10.2307/2690477 . JSTOR 2690477 
• John O. Kiltinen y Peter B. Young, «Goldbach, Lemoine y un problema de saber/no saber», Mathematics Magazine , 58 (4) (septiembre de 1985), págs. 195-203. doi : 10.2307/2689513 . JSTOR 2689513 
• Richard K. Guy , Problemas sin resolver en teoría de números Nueva York: Springer-Verlag 2004: C1

• La conjetura de Levy, por Jay Warendorff, Proyecto de demostraciones de Wolfram .