Simmediano

En geometría , las simedianas son tres líneas particulares asociadas a cada triángulo . Se construyen tomando la mediana del triángulo (una línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto) y reflejando dicha línea sobre la bisectriz del ángulo correspondiente (la línea que pasa por el mismo vértice y divide el ángulo en dos). El ángulo formado por la simediana y la bisectriz tiene la misma medida que el ángulo entre la mediana y la bisectriz, pero se encuentra en el lado opuesto de esta última. En resumen, son las líneas de simetría del incentro y el centroide.

Las tres simedianas se encuentran en el centro de un triángulo llamado punto de Lemoine . Ross Honsberger ha calificado su existencia como "una de las joyas de la corona de la geometría moderna". ^{[ 1 ]}

En geometría, muchas veces, si tomamos tres líneas especiales que pasan por los vértices de un triángulo, o cevianas , entonces sus reflexiones con respecto a las bisectrices de los ángulos correspondientes, llamadas líneas isogonales , también tendrán propiedades interesantes. Por ejemplo, si tres cevianas de un triángulo se intersecan en un punto P , entonces sus líneas isogonales también se intersecan en un punto, llamado conjugado isogonal de P.

Las simedianas ilustran este hecho.

• En el diagrama, las medianas (en negro) se intersecan en el centroide G.
• Debido a que las simedianas (en rojo) son isogonales a las medianas, las simedianas también se intersecan en un único punto , L.

Este punto se denomina punto simediano del triángulo , o alternativamente punto de Lemoine o punto de Grebe .

Las líneas punteadas son las bisectrices de los ángulos; las simedianas y las medianas son simétricas con respecto a las bisectrices de los ángulos (de ahí el nombre de "simediana").

Sea △ ABC un triángulo. Construyamos un punto D intersectando las tangentes desde B y C a la circunferencia circunscrita . Entonces AD es la simediana de △ ABC que pasa por el vértice A. ^{[ 2 ]}

Primera demostración. Sea la reflexión de AD con respecto a la bisectriz del ángulo ∠ BAC que interseca a BC en M' . Entonces:

${\displaystyle {\frac {|BM'|}{|M'C|}}={\frac {|AM'|{\frac {\sin \angle {BAM'}}{\sin \angle {ABM'}}}}{|AM'|{\frac {\sin \angle {CAM'}}{\sin \angle {ACM'}}}}}={\frac {\sin \angle {BAM'}}{\sin \angle {ACD}}}{\frac {\sin \angle {ABD}}{\sin \angle {CAM'}}}={\frac {\sin \angle {CAD}}{\sin \angle {ACD}}}{\frac {\sin \angle {ABD}}{\sin \angle {BAD}}}={\frac {|CD|}{|AD|}}{\frac {|AD|}{|BD|}}=1}$

Segunda prueba. Definimos D' como el conjugado isogonal de D. Es fácil ver que la reflexión de CD respecto a la bisectriz es la recta que pasa por C y es paralela a AB . Lo mismo ocurre con BD , por lo que ABD'C es un paralelogramo. AD' es claramente la mediana, ya que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí, y AD es su reflexión respecto a la bisectriz.

Tercera prueba. Sea ω la circunferencia con centro D que pasa por B y C , y sea O el circuncentro del triángulo ABC . Digamos que las rectas AB y AC intersecan a ω en P y Q , respectivamente. Como ∠ ABC = ∠ AQP , los triángulos ABC y AQP son semejantes. Dado que

${\displaystyle \angle PBQ=\angle BQC+\angle BAC={\frac {\angle BDC+\angle BOC}{2}}=90^{\circ },}$

Vemos que PQ es un diámetro de ω y, por lo tanto, pasa por D. Sea M el punto medio de BC . Dado que D es el punto medio de PQ , la semejanza implica que ∠ BAM = ∠ QAD , de donde se deduce el resultado.

Cuarta demostración. Sea S el punto medio del arco BC . | BS | = | SC | , por lo que AS es la bisectriz del ángulo ∠BAC . Sea M el punto medio de BC , y se deduce que D es la inversa de M con respecto a la circunferencia circunscrita. De esto, sabemos que la circunferencia circunscrita es una circunferencia apolínea con focos M y D. Por lo tanto, AS es la bisectriz del ángulo ∠DAM , y hemos obtenido el resultado deseado.

El concepto de punto simediano se extiende a los tetraedros (irregulares). Dado un tetraedro ABCD , dos planos P y Q que pasan por AB son conjugados isogonales si forman ángulos iguales con los planos ABC y ABD . Sea M el punto medio del lado CD . El plano que contiene el lado AB y que es isogonal al plano ABM se denomina plano simediano del tetraedro. Se puede demostrar que los planos simedianos se intersecan en un punto, el punto simediano. Este punto también minimiza la distancia al cuadrado desde las caras del tetraedro. ^{[ 3 ]}

• Simmediano y antiparalelo en el punto de corte.
• Simediana y 2 antiparalelas en el nudo de corte
• Symmedian y las tangentes en cut-the-knot
• Un applet interactivo de Java para el punto simmediano.
• Isógonos y simetría isogónica