Limón (geometría)

En geometría , un limón es una figura geométrica que se construye como la superficie de revolución de un arco circular de ángulo menor que la mitad de un círculo completo girado alrededor de un eje que pasa por los puntos finales de la lente (o arco). La superficie de revolución del arco complementario del mismo círculo, que pasa por el mismo eje, se llama manzana .

La manzana y el limón juntos forman un toro fusiforme (o toro autocruzado o toro autointersecante ). El limón forma el límite de un conjunto convexo , mientras que la manzana que lo rodea no es convexa. ^{[1] [2]}

El balón de fútbol americano tiene una forma que recuerda a un limón geométrico. Sin embargo, aunque se utiliza con un significado relacionado en geometría, el término "fútbol" se utiliza más comúnmente para referirse a una superficie de revolución cuya curvatura gaussiana es positiva y constante , formada a partir de una curva más complicada que un arco circular. ^[3] Alternativamente, un balón de fútbol puede referirse a un orbifold más abstracto , una superficie modelada localmente en una esfera excepto en dos puntos. ^[4]

El limón se genera al girar un arco de radio y medio ángulo menor que alrededor de su cuerda. Nótese que denota latitud, como se usa en geofísica. El área de la superficie está dada por ^[5]${\estilo de visualización R}$${\displaystyle \phi _{m}}$${\estilo de visualización \pi /2}$${\estilo de visualización \phi}$

${\displaystyle A=2\pi R^{2}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})d \phi}$

El volumen viene dado por

${\displaystyle V=\pi R^{3}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})^{ 2}\cos \phi d\phi }$

Estas integrales se pueden evaluar analíticamente, dando

${\displaystyle A=4\pi R^{2}(\sin \phi _{m}-\phi _{m}\cos \phi _{m})}$

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}\left[\sin ^{3}\phi _{m}-{\tfrac {3}{4}}\cos \phi _{m}(2\phi _{m}-\sin 2\phi _{m})\right]}$

La manzana se genera al girar un arco de medio ángulo mayor que alrededor de su cuerda. Las ecuaciones anteriores son válidas tanto para el limón como para la manzana. ${\displaystyle \phi _{m}}$${\estilo de visualización \pi /2}$

• Cuerpo Sears-Haack
• Lista de formas

• Weisstein, Eric W. , "Superficie de limón", MathWorld
• Superficie con forma de balón de fútbol (tipo huso) de curvatura constante positiva en la colección de modelos de la Universidad de Groningen