Lente

Las lentes se clasifican según la curvatura de sus dos superficies ópticas. Una lente es biconvexa (o simplemente convexa ) si ambas superficies son convexas . Si ambas superficies tienen el mismo radio de curvatura, la lente es equiconvexa . Una lente con dos superficies cóncavas es biconcava (o simplemente cóncava ). Si una de las superficies es plana, la lente es planoconvexa o planocóncava, dependiendo de la curvatura de la otra superficie. Una lente con un lado convexo y otro cóncavo es convexo-cóncava o menisco . Las lentes convexo-cóncavas se utilizan con mayor frecuencia en lentes correctivas , ya que su forma minimiza algunas aberraciones.

En una lente biconvexa o plano-convexa en un medio de bajo índice de refracción, un haz de luz colimado que la atraviesa converge en un punto ( foco ) detrás de ella. En este caso, la lente se denomina positiva o convergente . Para una lente delgada en el aire, la distancia desde la lente hasta el foco es la distancia focal , que se representa comúnmente con la letra f en diagramas y ecuaciones. Una lente hemisférica extendida es un tipo especial de lente plano-convexa, cuya superficie curva es un hemisferio completo y cuyo espesor es mucho mayor que el radio de curvatura.

Otro caso extremo de lente convexa gruesa es la lente esférica , cuya forma es completamente redonda. En fotografía experimental, se la suele llamar "lente esférica". Una lente esférica tiene la ventaja de ser omnidireccional, pero para la mayoría de los tipos de vidrio óptico , su punto focal se encuentra cerca de la superficie de la esfera. Debido a la curvatura extrema de la esfera en comparación con el tamaño de la lente, la aberración óptica es mucho peor que en las lentes delgadas, con la notable excepción de la aberración cromática .

En una lente bicóncava o planocóncava en un medio de bajo índice de refracción, un haz de luz colimado que la atraviesa se dispersa; por lo tanto, se la denomina lente negativa o divergente . Tras atravesar la lente, el haz parece emanar de un punto específico del eje situado frente a ella. Para una lente delgada en el aire, la distancia desde este punto hasta la lente es la distancia focal, aunque es negativa con respecto a la distancia focal de una lente convergente.

El comportamiento se invierte cuando una lente se coloca en un medio con un índice de refracción mayor que el del material de la lente. En este caso, una lente biconvexa o planoconvexa diverge la luz, y una bicóncava o planocóncava la converge.

Las lentes convexo-cóncavas (menisco) pueden ser positivas o negativas, dependiendo de la curvatura relativa de sus dos superficies. Una lente menisco negativa tiene una superficie cóncava más pronunciada (con un radio menor que la superficie convexa) y es más delgada en el centro que en la periferia. Por el contrario, una lente menisco positiva tiene una superficie convexa más pronunciada (con un radio menor que la superficie cóncava) y es más gruesa en el centro que en la periferia.

Una lente delgada ideal con dos superficies de igual curvatura (y signo igual) tendría potencia óptica cero (ya que su distancia focal tiende a infinito, como se muestra en la ecuación del fabricante de lentes ), lo que significa que no convergería ni divergiría la luz. Sin embargo, todas las lentes reales tienen un espesor distinto de cero, lo que hace que una lente real con superficies curvas idénticas tenga una potencia ligeramente positiva. Para obtener una potencia óptica exactamente cero, una lente menisco debe tener curvaturas ligeramente desiguales para compensar el efecto del espesor de la lente.

Para una sola refracción en un límite circular, la relación entre el objeto y su imagen en la aproximación paraxial viene dada por ^{[ 22 ] [ 23 ].}

$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{u}}+{\frac {n_{2}}{v}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}}$$

donde R es el radio de la superficie esférica, n ₂ es el índice de refracción del material de la superficie, n ₁ es el índice de refracción del medio (el medio distinto del material de la superficie esférica),${\textstyle u}$es la distancia del objeto en el eje (en el eje óptico) desde la línea perpendicular al eje hacia el punto de refracción en la superficie (cuya altura es h ), y${\textstyle v}$es la distancia de la imagen en el eje desde la línea. Debido a la aproximación paraxial donde la línea de h está cerca del vértice de la superficie esférica que encuentra el eje óptico a la izquierda,${\textstyle u}$y${\textstyle v}$También se consideran distancias con respecto al vértice.

Emocionante${\textstyle v}$hacia el infinito derecho conduce a la primera distancia focal del objeto.${\textstyle f_{0}}$para la superficie esférica. De manera similar,${\textstyle u}$Hacia el infinito izquierdo se llega a la segunda distancia focal o imagen.${\displaystyle f_{i}}$. ^{[ 24 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&={\frac {n_{1}}{n_{2}-n_{1}}}R,\\f_{i}&={\frac {n_{2}}{n_{2}-n_{1}}}R\end{aligned}}}$$

Aplicando esta ecuación a las dos superficies esféricas de una lente y aproximando el espesor de la lente a cero (es decir, una lente delgada) se llega a la fórmula del fabricante de lentes .

Derivación

Aplicando la ley de Snell a la superficie esférica,${\displaystyle n_{1}\sin i=n_{2}\sin r\,.}$

También en el diagrama,$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(i-\theta )&={\frac {h}{u}}\\\tan(\theta -r)&={\frac {h}{v}}\\\sin \theta &={\frac {h}{R}}\end{aligned}}}$$y utilizando la aproximación de ángulo pequeño (aproximación paraxial) y eliminando i , r y θ ,

$${\displaystyle {\frac {n_{2}}{v}}+{\frac {n_{1}}{u}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}\,.}$$

La distancia focal (efectiva)${\displaystyle f}$de una lente esférica en aire o vacío para rayos paraxiales se puede calcular a partir de la ecuación del fabricante de lentes : ^{[ 25 ] [ 26 ]}

$${\displaystyle {\frac {1}{\ f\ }}=\left(n-1\right)\left[\ {\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}+{\frac {\ \left(n-1\right)\ d~}{\ n\ R_{1}\ R_{2}\ }}\ \right]\ ,}$$ dónde

• ${\textstyle n}$es el índice de refracción del material de la lente;
• ${\textstyle R_{1}}$es el radio de curvatura (con signo, ver más abajo ) de la superficie de la lente más cercana a la fuente de luz;
• ${\textstyle R_{2}}$es el radio de curvatura de la superficie de la lente más alejada de la fuente de luz; y
• ${\textstyle d}$es el espesor de la lente (la distancia a lo largo del eje de la lente entre los dos vértices de la superficie ).

La distancia focal${\textstyle f}$es con respecto a los planos principales de la lente y las ubicaciones de los planos principales.${\textstyle h_{1}}$y${\textstyle h_{2}}$Con respecto a los vértices de la lente correspondiente, se dan las siguientes fórmulas, donde es un valor positivo si es a la derecha del vértice correspondiente. ^{[ 26 ]}

$${\displaystyle \ h_{1}=-\ {\frac {\ \left(n-1\right)f\ d~}{\ n\ R_{2}\ }}\ }$$$${\displaystyle \ h_{2}=-\ {\frac {\ \left(n-1\right)f\ d~}{\ n\ R_{1}\ }}\ }$$

La distancia focal${\displaystyle f}$es positivo para lentes convergentes y negativo para lentes divergentes. El recíproco de la distancia focal,${\textstyle {\tfrac {1}{f}},}$es la potencia óptica de la lente. Si la distancia focal está en metros, esto da la potencia óptica en dioptrías (metros recíprocos).

Las lentes tienen la misma distancia focal cuando la luz viaja desde atrás hacia adelante que cuando viaja desde adelante hacia atrás. Otras propiedades de la lente, como las aberraciones, no son las mismas en ambas direcciones.

Derivación

La ecuación de la lente delgada esférica en aproximación paraxial se deriva aquí con respecto a la figura de la derecha. ^{[ 29 ]} La primera superficie de la lente esférica (que se encuentra con el eje óptico en${\textstyle V_{1}}$(como su vértice) proyecta una imagen de un objeto en el eje O a la imagen virtual I', que puede describirse mediante la siguiente ecuación,$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{\ u\ }}+{\frac {\ n_{2}\ }{\ v'\ }}={\frac {\ n_{2}-n_{1}\ }{\ R_{1}\ }}~.}$$Para la formación de imágenes mediante la segunda superficie de la lente ( I' como objeto para esta imagen), tomando la convención de signos anterior,${\textstyle u'=-v'+d}$y$${\displaystyle \ {\frac {n_{2}}{\ -v'+d\ }}+{\frac {\ n_{1}\ }{\ v\ }}={\frac {\ n_{1}-n_{2}\ }{\ R_{2}\ }}~.}$$Sumando estas dos ecuaciones se obtiene$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{u}}+{\frac {\ n_{1}\ }{v}}=\left(n_{2}-n_{1}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)+{\frac {\ n_{2}\ d\ }{\ \left(\ v'-d\ \right)\ v'\ }}~.}$$Para la aproximación de lente delgada donde${\displaystyle d\rightarrow 0,}$El segundo término del RHS (lado derecho) se ha ido, así que

$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{u}}+{\frac {\ n_{1}\ }{v}}=\left(n_{2}-n_{1}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)~.}$$

La distancia focal${\displaystyle f}$de la lente delgada se encuentra limitando${\displaystyle u\rightarrow -\infty ,}$

$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{\ f\ }}=\left(n_{2}-n_{1}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\rightarrow {\frac {1}{\ f\ }}=\left({\frac {\ n_{2}\ }{\ n_{1}\ }}-1\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)~.}$$

Entonces, la ecuación de la lente delgada gaussiana es

$${\displaystyle \ {\frac {1}{\ u\ }}+{\frac {1}{\ v\ }}={\frac {1}{\ f\ }}~.}$$

Para la lente delgada en el aire o en el vacío donde${\textstyle n_{1}=1}$se puede asumir,${\textstyle f}$se convierte

$${\displaystyle \ {\frac {1}{\ f\ }}=\left(n-1\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\ }$$

donde el subíndice de 2 en${\textstyle n_{2}}$se cae.

Para rayos paraxiales , si las distancias desde un objeto a una lente delgada esférica (una lente de espesor despreciable) y desde la lente a la imagen son S ₁ y S ₂ respectivamente, las distancias están relacionadas por la fórmula de la lente delgada (gaussiana) : ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

$${\displaystyle {1 \over f}={1 \over S_{1}}+{1 \over S_{2}}\,.}$$

La figura de la derecha muestra cómo se puede encontrar la imagen de un punto del objeto utilizando tres rayos: el primero incide paralelamente sobre la lente y se refracta hacia su segundo foco; el segundo atraviesa el centro óptico de la lente (por lo que su dirección no cambia); y el tercero se dirige hacia el primer foco y se refracta en la dirección paralela al eje óptico. Este es un método sencillo de trazado de rayos. Dos de los tres rayos son suficientes para localizar el punto de la imagen. Al mover el objeto a lo largo del eje óptico, se demuestra que el segundo rayo determina el tamaño de la imagen, mientras que los otros dos ayudan a localizar su posición.

La ecuación de la lente también se puede expresar en la forma "newtoniana": ^{[ 28 ]}

$${\displaystyle f^{2}=x_{1}x_{2}\,,}$$

dónde${\displaystyle x_{1}=S_{1}-f}$y${\displaystyle x_{2}=S_{2}-f\,.}$${\textstyle x_{1}}$es positivo si se deja en el punto focal frontal${\textstyle F_{1}}$, y${\textstyle x_{2}}$es positivo si está justo al punto focal trasero${\textstyle F_{2}}$. Porque${\textstyle f^{2}}$Si es positivo, un punto objeto y el punto de imagen correspondiente formado por una lente siempre están en lados opuestos con respecto a sus respectivos puntos focales.${\textstyle x_{1}}$y${\textstyle x_{2}}$son positivos o negativos.)

_{Esta formulación newtoniana de la ecuación de la lente se puede obtener mediante la semejanza entre los triángulos P₁PO₁F₁ y L₃L₂F₁} , _y otra semejanza entre los _triángulos L₁L₂F₂ y _{P₂PO₂F₂} en la _{figura de} la derecha _{. Estas semejanzas dan lugar a las siguientes ecuaciones , y al} combinarlas se _{obtiene la} formulación newtoniana de la ecuación de la lente .

$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\left\vert y_{2}\right\vert }{f}}\\{\frac {y_{1}}{f}}={\frac {\left\vert y_{2}\right\vert }{x_{2}}}\end{array}}}$$

Las ecuaciones anteriores también son válidas para lentes gruesas (incluida una lente compuesta formada por varias lentes, que puede tratarse como una lente gruesa) en aire o vacío (cuyo índice de refracción puede tratarse como 1) si${\textstyle S_{1}}$,${\textstyle S_{2}}$, y${\textstyle f}$son con respecto a los planos principales de la lente (${\textstyle f}$es la distancia focal efectiva en este caso). ^{[ 26 ]} Esto se debe a similitudes triangulares como el caso de la lente delgada anterior; similitud entre los triángulos P ₁ P _O1 F ₁ y L ₃ H ₁ F ₁ y otra similitud entre los triángulos L ₁ ' H ₂ F ₂ y P ₂ P ₀₂ F ₂ en la figura de la derecha. Si las distancias S ₁ o S ₂ pasan a través de un medio distinto del aire o el vacío, entonces se requiere un análisis más complicado.

Si un objeto se coloca a una distancia S₁ > _f de una lente positiva de distancia focal _f , obtendremos una imagen a una distancia S₂ según esta fórmula. Si se coloca una pantalla a una distancia S₂ en el lado opuesto de la lente, se formará una imagen en ella. Este tipo de imagen, que puede proyectarse sobre una pantalla o sensor de imagen _, se conoce como imagen real . Este es el principio de la cámara y también del ojo humano , en el que la retina actúa como sensor de imagen.

El ajuste de enfoque de una cámara modifica S2 , ya que usar una distancia de imagen diferente a la requerida por esta fórmula produce una imagen desenfocada (borrosa) para un objeto _{situado a una distancia} S1 de la cámara. Dicho de otro modo, modificar S2 hace que los objetos _situados a una distancia S1 diferente _se enfoquen _{perfectamente} .

En algunos casos, S2 es negativo, lo que indica que la imagen se forma en el lado opuesto de la lente al lugar donde se consideran esos rayos. Dado que los rayos de luz divergentes que emanan de la lente nunca se enfocan y no están físicamente presentes en el punto donde parecen _formar una imagen, se denomina imagen virtual . A diferencia de las imágenes reales, una imagen virtual no se puede proyectar en una pantalla, pero aparece ante un observador que mira a través de la lente como si fuera un objeto real en la ubicación de esa imagen virtual. Del mismo modo, aparece ante una lente posterior como si fuera un objeto en esa ubicación, de modo que esa segunda lente podría enfocar nuevamente esa luz en una imagen real, y _S1 se mide entonces desde la ubicación de la imagen virtual detrás de la primera lente hasta la segunda lente. Esto es exactamente lo que hace el ojo cuando mira a través de una lupa . La lupa crea una imagen virtual (amplificada) detrás de ella, pero esos rayos son luego re-imagenados por el cristalino del ojo para crear una imagen real en la retina .

Una lente negativa produce una imagen virtual reducida.

Una lente Barlow (B) transforma un objeto virtual (foco de la trayectoria del rayo rojo) en una imagen real ampliada (rayos verdes en el foco).

Al usar una lente positiva de distancia focal f , se obtiene una imagen virtual cuando S ₁ < f , utilizándose así la lente como una lupa (en lugar de si S ₁ ≫ f como en una cámara). Al usar una lente negativa ( f < 0 ) con un objeto real ( S ₁ > 0 ) solo se puede producir una imagen virtual ( S ₂ < 0 ), según la fórmula anterior. También es posible que la distancia del objeto S ₁ sea negativa, en cuyo caso la lente ve un objeto virtual . Esto sucede cuando la lente se inserta en un haz convergente (enfocado por una lente anterior) antes de la ubicación de su imagen real. En ese caso, incluso una lente negativa puede proyectar una imagen real, como lo hace una lente Barlow .

_{Para una lente dada} con distancia focal f , la distancia mínima entre un objeto y la imagen real es 4f ( S₁ = S₂ = 2f ) . Esto se obtiene haciendo L = S₁ + S₂ , expresando _S₂ en términos de S₁ mediante la ecuación _{de la} lente (o expresando S₁ en términos de S₂ ), e igualando a cero la derivada de _{L con} respecto a _S₁ ( o _{S₂ ) .} ( Nótese que L no tiene límite de crecimiento , por lo _que su extremo es solo el mínimo, donde la derivada de L es cero).

La imagen real de una lámpara se proyecta sobre una pantalla (invertida). Se aprecian los reflejos de la lámpara en ambas superficies de la lente biconvexa.

Una lente convexa ( f ≪ S ₁ ) forma una imagen real e invertida (como la que forma el objetivo de un telescopio o unos prismáticos) en lugar de la imagen virtual y derecha que se ve en una lupa ( f > S ₁ ). Esta imagen real también se puede ver proyectada en una pantalla.

La magnificación lineal de un sistema de imagen que utiliza una sola lente viene dada por

$${\displaystyle M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}\ =-{\frac {f}{x_{1}}}}$$

donde M es el factor de magnificación, definido como la relación entre el tamaño de la imagen y el tamaño del objeto. La convención de signos indica que si M es negativo, como ocurre con las imágenes reales, la imagen aparece invertida con respecto al objeto. Para las imágenes virtuales, M es positivo, por lo que la imagen aparece derecha.

Esta fórmula de magnificación proporciona dos maneras fáciles de distinguir entre lentes convergentes ( f > 0 ) y divergentes ( f < 0 ): Para un objeto muy cerca de la lente ( 0 < S ₁ < | f | ), una lente convergente formaría una imagen virtual magnificada (más grande), mientras que una lente divergente formaría una imagen desmagnificada (más pequeña); Para un objeto muy lejos de la lente ( S ₁ > | f | > 0 ), una lente convergente formaría una imagen invertida, mientras que una lente divergente formaría una imagen derecha.

La magnificación lineal M no siempre es la medida más útil del poder de aumento. Por ejemplo, al caracterizar un telescopio o binoculares que producen solo una imagen virtual, sería más importante la magnificación angular , que expresa cuánto más grande parece un objeto distante a través del telescopio en comparación con el ojo humano. En el caso de una cámara, se citaría la escala de placa , que compara el tamaño aparente (angular) de un objeto distante con el tamaño de la imagen real producida en el foco. La escala de placa es el recíproco de la distancia focal del objetivo de la cámara ; los objetivos se clasifican como de larga distancia focal o gran angular según su distancia focal.

Utilizar una medida de aumento inapropiada puede ser formalmente correcta pero dar como resultado un número sin sentido. Por ejemplo, usar una lupa deDistancia focal de 5  cm , sostenidaa 20  cm del ojo yA 5  cm del objeto, produce una imagen virtual en el infinito de tamaño lineal infinito: M = ∞ . Pero la magnificación angular es 5, lo que significa que el objeto aparece 5 veces más grande al ojo que sin la lente. Al tomar una fotografía de la luna usando una cámara con unaLente de 50  mm , uno no se preocupa por el aumento lineal M ≈−50  mm /380 000  km =−1,3 × 10 ⁻¹⁰ . Más bien, la escala de placa de la cámara es aproximadamente1°/mm , de lo cual se puede concluir que elUna imagen de 0,5  mm en la película corresponde a un tamaño angular de la luna visto desde la Tierra de aproximadamente 0,5°.

En el caso extremo en que un objeto se encuentra a una distancia infinita, S ₁ = ∞ , S ₂ = f y M = − f /∞ = 0 , lo que indica que el objeto se proyectaría en un único punto del plano focal. De hecho, el diámetro del punto proyectado no es cero, ya que la difracción impone un límite inferior al tamaño de la función de dispersión puntual . Esto se denomina límite de difracción .

La aberración esférica se produce porque las superficies esféricas no son la forma ideal para una lente, pero son, con mucho, la forma más sencilla a la que se puede dar forma al vidrio mediante tallado y pulido , por lo que se utilizan con frecuencia. La aberración esférica provoca que los haces paralelos al eje de la lente, pero lateralmente alejados de este, se enfoquen en un punto ligeramente diferente al de los haces cercanos al eje. Esto se manifiesta como una imagen borrosa. La aberración esférica se puede minimizar con formas de lente normales eligiendo cuidadosamente las curvaturas de la superficie para una aplicación específica. Por ejemplo, una lente plano-convexa, que se utiliza para enfocar un haz colimado, produce un punto focal más nítido cuando se utiliza con el lado convexo hacia la fuente del haz.

La coma , o aberración comática , debe su nombre a la apariencia de cometa que adquiere la imagen aberrada. La coma se produce cuando se forma una imagen de un objeto fuera del eje óptico de la lente, donde los rayos la atraviesan con un ángulo θ respecto al eje . Los rayos que pasan por el centro de una lente de distancia focal f se enfocan en un punto situado a una distancia f tan θ del eje. Los rayos que pasan por los bordes exteriores de la lente se enfocan en puntos diferentes, ya sea más alejados del eje (coma positiva) o más cercanos a él (coma negativa). En general, un haz de rayos paralelos que atraviesan la lente a una distancia fija del centro se enfoca en una imagen anular en el plano focal, conocida como círculo comático (véase cada círculo de la imagen en la figura siguiente). La suma de todos estos círculos produce un destello en forma de V o de cometa. Al igual que con la aberración esférica, la coma se puede minimizar (y en algunos casos eliminar) ajustando la curvatura de las dos superficies de la lente a la aplicación. Las lentes en las que se minimizan tanto la aberración esférica como el coma se denominan lentes de forma óptima .

La aberración cromática se debe a la dispersión del material de la lente: la variación de su índice de refracción , n , con la longitud de onda de la luz. Dado que, según las fórmulas anteriores , f depende de n , se deduce que la luz de diferentes longitudes de onda se enfoca en diferentes posiciones. La aberración cromática de una lente se observa como franjas de color alrededor de la imagen. Se puede minimizar utilizando un doblete acromático (o acromático ), en el que dos materiales con diferente dispersión se unen para formar una sola lente. Esto reduce la cantidad de aberración cromática en un cierto rango de longitudes de onda, aunque no produce una corrección perfecta. El uso de acromáticos fue un paso importante en el desarrollo del microscopio óptico. Un apocromático es una lente o sistema de lentes con una corrección de aberración cromática aún mejor, combinada con una corrección de aberración esférica mejorada. Los apocromáticos son mucho más caros que los acromáticos.

Para minimizar la aberración cromática, también se pueden utilizar diferentes materiales para lentes, como recubrimientos especializados o lentes fabricadas con fluorita cristalina . Esta sustancia natural posee el número de Abbe más alto conocido , lo que indica que tiene baja dispersión.

Otros tipos de aberración incluyen la curvatura de campo , la distorsión de barril y de cojín , y el astigmatismo .

Aunque una lente esté diseñada para minimizar o eliminar las aberraciones descritas anteriormente, la calidad de la imagen sigue estando limitada por la difracción de la luz que atraviesa su apertura finita . Una lente limitada por difracción es aquella en la que las aberraciones se han reducido hasta el punto en que la calidad de la imagen está limitada principalmente por la difracción en las condiciones de diseño.

• Aprendizaje mediante simulaciones ( Archivado el 21 de enero de 2010 en Wayback Machine : Lentes cóncavas y convexas)
• OpticalRayTracer Archivado el 6 de octubre de 2010 en Wayback Machine – Simulador de lentes de código abierto (Java descargable)
• Animaciones que demuestran el funcionamiento de la lente. Archivado el 4 de abril de 2012 en Wayback Machine por QED.