Servicios públicos de Leontief

En economía , especialmente en la teoría del consumidor , una función de utilidad de Leontief es una función de la forma: $${\displaystyle u(x_{1},\ldots ,x_{m})=\min \left\{{\frac {x_{1}}{w_{1}}},\ldots ,{\frac {x_{m}}{w_{m}}}\right\}.}$$ dónde:

• ${\displaystyle m}$es el número de bienes diferentes en la economía.
• ${\displaystyle x_{i}}$(para${\displaystyle i\in 1,\dots ,m}$) es la cantidad de bien${\displaystyle i}$en el paquete.
• ${\displaystyle w_{i}}$(para${\displaystyle i\in 1,\dots ,m}$) es el peso de bueno${\displaystyle i}$para el consumidor.

Esta forma de función de utilidad fue conceptualizada por primera vez por Wassily Leontief .

Las funciones de utilidad de Leontief representan bienes complementarios . Por ejemplo:

• Suponer${\displaystyle x_{1}}$es el número de zapatos izquierdos y${\displaystyle x_{2}}$el número de zapatos adecuados. Un consumidor solo puede usar pares de zapatos. Por lo tanto, su utilidad es${\displaystyle \min(x_{1},x_{2})}$.
• En un entorno de computación en la nube , existe un servidor grande que ejecuta muchas tareas diferentes . Supongamos que un tipo específico de tarea requiere 2 CPU , 3 gigabytes de memoria y 4 gigabytes de espacio en disco para completarse. La utilidad del usuario es igual al número de tareas completadas. Por lo tanto, se puede representar de la siguiente manera:${\textstyle \min({x_{\mathrm {CPU} } \over 2},{x_{\mathrm {MEM} } \over 3},{x_{\mathrm {DISK} } \over 4})}$.

Un consumidor con una función de utilidad de Leontief tiene las siguientes propiedades:

• Las preferencias son débilmente monótonas , pero no fuertemente monótonas: tener una mayor cantidad de un solo bien no aumenta la utilidad, pero tener una mayor cantidad de todos los bienes sí lo hace.
• Las preferencias son débilmente convexas , pero no estrictamente convexas: una combinación de dos cestas equivalentes puede ser equivalente o mejor que las cestas originales.
• Las curvas de indiferencia tienen forma de L y sus vértices están determinados por los pesos. Por ejemplo, para la función${\displaystyle \min(x_{1}/2,x_{2}/3)}$, las esquinas de las curvas indiferentes están en${\displaystyle (2t,3t)}$dónde${\displaystyle t\in [0,\infty )}$.
• La demanda del consumidor siempre consiste en obtener los bienes en proporciones constantes determinadas por los pesos; es decir, el consumidor demanda una cesta.${\displaystyle (w_{1}t,\ldots ,w_{m}t)}$dónde${\displaystyle t}$está determinado por los ingresos:${\displaystyle t={\text{Ingreso}}/(p_{1}w_{1}+\dots +p_{m}w_{m})}$. ^{[ 1 ]} Dado que la función de demanda marshalliana de cada bien es creciente con respecto al ingreso, todos los bienes son bienes normales . ^{[ 2 ]}

Dado que las funciones de utilidad de Leontief no son estrictamente convexas, no satisfacen los requisitos del modelo de Arrow-Debreu para la existencia de un equilibrio competitivo . De hecho, no se garantiza que una economía de Leontief tenga un equilibrio competitivo . Existen familias restringidas de economías de Leontief que sí presentan un equilibrio competitivo.

Se produce una reducción del problema de encontrar un equilibrio de Nash en un juego bimatricial al problema de encontrar un equilibrio competitivo en una economía de Leontief. ^{[ 3 ]} Esto tiene varias implicaciones:

• Es un problema NP-difícil determinar si una familia particular de economías de intercambio de Leontief, que tiene garantizado tener al menos un equilibrio, tiene más de un equilibrio.
• Es un problema NP-difícil decidir si una economía de Leontief tiene un equilibrio.

Además, el problema de intercambio de mercado de Leontief no tiene un esquema de aproximación totalmente polinomial , a menos que PPAD ⊆ P. ^{[ 4 ]}

Por otro lado, existen algoritmos para encontrar un equilibrio aproximado para algunas economías especiales de Leontief. ^{[ 3 ] [ 5 ]}

La equidad de recursos dominante es una regla común para la asignación de recursos en sistemas de computación en la nube, que presupone que los usuarios tienen preferencias Leontief.