Portada de Leray

En matemáticas , una cubierta de Leray es una cubierta de un espacio topológico que permite calcular fácilmente su cohomología . Estas cubiertas reciben su nombre de Jean Leray .

La cohomología de haces mide hasta qué punto una sucesión localmente exacta en un espacio topológico fijo, por ejemplo la sucesión de De Rham , no es globalmente exacta. Su definición, utilizando functores derivados , es razonablemente natural, aunque técnica. Además, propiedades importantes, como la existencia de una sucesión exacta larga en cohomología correspondiente a cualquier sucesión exacta corta de haces , se derivan directamente de la definición. Sin embargo, es prácticamente imposible calcularla a partir de la definición. Por otro lado, la cohomología de Čech con respecto a una cubierta abierta es adecuada para el cálculo, pero de utilidad limitada porque depende de la cubierta abierta elegida, no solo de los haces y el espacio. Al tomar un límite directo de la cohomología de Čech sobre cubiertas arbitrariamente finas, obtenemos una teoría de la cohomología de Čech que no depende de la cubierta abierta elegida.

En circunstancias razonables (por ejemplo, si el espacio topológico es paracompacto ), la cohomología del functor derivado coincide con la cohomología de Čech obtenida mediante límites directos. Sin embargo, al igual que la cohomología del functor derivado, esta cohomología de Čech independiente de la cobertura es prácticamente imposible de calcular a partir de la definición. La condición de Leray sobre una cobertura abierta garantiza que la cobertura en cuestión ya es suficientemente fina. La cohomología del functor derivado coincide con la cohomología de Čech respecto a cualquier cobertura de Leray.

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{U_{i}\}}$ser una cubierta abierta del espacio topológico${\displaystyle X}$, y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$un haz en${\displaystyle X}$Decimos que${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$es una cubierta Leray con respecto a${\displaystyle {\mathcal {F}}}$si, para cada conjunto finito no vacío${\displaystyle \{i_{1},\ldots ,i_{n}\}}$de índices y para todos${\displaystyle k>0}$, tenemos eso${\displaystyle H^{k}(U_{i_{1}}\cap \cdots \cap U_{i_{n}},{\mathcal {F}})=0}$en la cohomología del functor derivado. ^{[ 1 ]}

Por ejemplo, si${\displaystyle X}$es un esquema separado y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es cuasi-coherente, entonces cualquier cubierta de${\displaystyle X}$mediante subesquemas afines abiertos es una cobertura de Leray. ^{[ 2 ]}

• Macdonald, IG (1968). Geometría algebraica: Introducción a los esquemas . Serie de notas de clase de matemáticas. Nueva York : WA Benjamin. MR 0238845 . 

• Taylor, Joseph L. (2002). Varias variables complejas con conexiones a la geometría algebraica y los grupos de Lie . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol.  46. Providence, RI : American Mathematical Society . ISBN 978-1-4704-7997-8.