Proyección de Leray

La proyección de Leray , también conocida como proyección de Helmholtz-Leray , es una herramienta matemática que se utiliza para describir el movimiento de fluidos como el aire o el agua. Parte de un campo vectorial —que describe el movimiento de un objeto en cada punto del espacio— y extrae la parte que representa el flujo incompresible ( sin divergencia ). Esto resulta especialmente útil en el estudio de la dinámica de fluidos , como en las ecuaciones de Navier-Stokes , que describen el movimiento de los fluidos.

Recibe su nombre en honor a Jean Leray .

La idea básica de la proyección de Leray es que cualquier campo vectorial tridimensional admite una descomposición en una parte sin rotacional y otra sin divergencia . Esto se conoce como la descomposición de Helmholtz . (De forma más general, la descomposición de Hodge se aplica en dimensiones superiores: véanse, por ejemplo, las ecuaciones de Euler-Arnold ).

La proyección de Leray tiene las siguientes propiedades:

1. La proyección de Leray es una proyección : ${\displaystyle \mathbb {P} [\mathbb {P} (\mathbf {u} )]=\mathbb {P} (\mathbf {u} )}$a pesar de${\displaystyle \mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}$.
2. La proyección de Leray es un operador libre de divergencia:${\displaystyle \nabla \cdot [\mathbb {P} (\mathbf {u} )]=0}$a pesar de${\displaystyle \mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}$.
3. La proyección de Leray es simplemente la identidad para los campos vectoriales sin divergencia: ${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {u} }$a pesar de${\displaystyle \mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}$de tal manera que${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$.
4. La proyección de Leray se anula para los campos vectoriales que provienen de un potencial : ${\displaystyle \mathbb {P} (\nabla \phi )=0}$a pesar de${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles son las ecuaciones diferenciales parciales dadas por

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\nu \,\Delta \mathbf {u} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

dónde${\displaystyle \mathbf {u} }$es la velocidad del fluido,${\displaystyle p}$la presión,${\displaystyle \nu >0}$la viscosidad y${\displaystyle \mathbf {f} }$la fuerza volumétrica externa.

Aplicando la proyección de Leray a la primera ecuación, podemos reescribir las ecuaciones de Navier-Stokes como una ecuación diferencial abstracta en un espacio de fase de dimensión infinita , como por ejemplo:${\displaystyle C^{0}\left(0,T;L^{2}(\Omega )\right)}$, el espacio de funciones continuas desde${\displaystyle [0,T]}$a${\displaystyle L^{2}(\Omega)}$dónde${\displaystyle T>0}$y${\displaystyle L^{2}(\Omega)}$es el espacio de funciones de cuadrado integrable en el dominio físico.${\displaystyle \Omega }$: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t}}+\nu \,A\mathbf {u} +B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=\mathbb {P} (\mathbf {f} )}$

donde hemos definido el operador de Stokes${\displaystyle A}$y la forma bilineal${\displaystyle B}$por ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A\mathbf {u} =-\mathbb {P} (\Delta \mathbf {u} )\qquad B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbb {P} [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} ].}$

La presión y la condición de divergencia nula se "proyectan". En general, asumimos por simplicidad que${\displaystyle \mathbf {f} }$es libre de divergencia, de modo que${\displaystyle {\mathbb {P} }({\mathbf {f} })={\mathbf {f} }}$; esto siempre se puede hacer, agregando el término${\displaystyle \mathbf {f} -\mathbb {P} (\mathbf {f} )}$a la presión.