Teorema de Lester

En geometría del plano euclidiano , el teorema de Lester establece que en cualquier triángulo escaleno , los dos puntos de Fermat , el centro de nueve puntos y el circuncentro se encuentran en el mismo círculo . El resultado lleva el nombre de June Lester, quien lo publicó en 1997, ^[1] y el círculo que pasa por estos puntos fue llamado círculo de Lester por Clark Kimberling . ^[2] Lester demostró el resultado utilizando las propiedades de los números complejos ; los autores posteriores han dado pruebas elementales ^{[3] [4] [5] [6]} , pruebas utilizando aritmética vectorial, ^[7] y pruebas computarizadas. ^[8] El centro del círculo de Lester también es un centro de triángulo. Es el centro designado como X(1116) en la Enciclopedia de centros de triángulos . ^[9] Recientemente, Peter Moses descubrió que otros 21 centros de triángulos se encuentran en el círculo de Lester . Los puntos están numerados X(15535) – X(15555) en la Enciclopedia de centros de triángulos . ^[10]

En 2000, Bernard Gibert propuso una generalización del teorema de Lester que involucra la hipérbola de Kiepert de un triángulo. Su resultado puede enunciarse de la siguiente manera: Todo círculo con un diámetro que sea una cuerda de la hipérbola de Kiepert y perpendicular a la línea de Euler del triángulo pasa por los puntos de Fermat . ^{[11] [12]}

En 2014, Dao Thanh Oai extendió el resultado de Gibert a cada hipérbola rectangular . La generalización es la siguiente: Sea y se encuentran en una rama de una hipérbola rectangular, y sea y los dos puntos en la hipérbola que son simétricos respecto de su centro ( puntos antípodas ), donde las tangentes en estos puntos son paralelas a la línea . Sea y dos puntos en la hipérbola donde las tangentes se intersecan en un punto en la línea . Si la línea se interseca en , y la bisectriz perpendicular de interseca la hipérbola en y , entonces los seis puntos , , y se encuentran en un círculo. Cuando la hipérbola rectangular es la hipérbola de Kiepert y y son los dos puntos de Fermat , la generalización de Dao se convierte en la generalización de Gibert. ^{[12] [13]}${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización G}$$Estilo de visualización F_{+}}$$Estilo de visualización F_{-}}$${\estilo de visualización HG}$$Estilo de visualización K_{+}}$$estilo de visualización K_{-}}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización HG}$$Estilo de visualización K_{+}K_{-}}$${\estilo de visualización HG}$${\estilo de visualización D}$${\displaystyle DE}$$Estilo de visualización G_{+}}$$estilo de visualización G_{-}}$$Estilo de visualización F_{+}}$${\estilo de visualización F_{-},}$ ${\estilo de visualización E,}$ ${\estilo de visualización F,}$ $Estilo de visualización G_{+}}$$estilo de visualización G_{-}}$$Estilo de visualización F_{+}}$$Estilo de visualización F_{-}}$

En 2015, Dao Thanh Oai propuso otra generalización del círculo de Lester, esta vez asociada con la cúbica de Neuberg . Puede enunciarse de la siguiente manera: Sea un punto en la cúbica de Neuberg , y sea la reflexión de en la línea , con y definidas cíclicamente. Se sabe que las líneas , , y son concurrentes en un punto denotado como . Los cuatro puntos , , , y se encuentran en un círculo. Cuando es el punto , se sabe que , lo que hace que la generalización de Dao sea una reformulación del Teorema de Lester. ^{[13] [14] [15] [16]}${\estilo de visualización P}$$Estilo de visualización P_{A}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle BC}$$Estilo de visualización P_{B}$$Estilo de visualización P_{C}$$Estilo de visualización AP_{A}$$Estilo de visualización BP_{B}$$Estilo de visualización CP_{C}$${\estilo de visualización Q(P)}$$Estilo de visualización X_{13}}$$Estilo de visualización X_{14}}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización Q(P)}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización X(3)}$${\displaystyle Q(P)=Q(X_{3})=X_{5}}$

• Círculo de parada
• Forma § Clases de similitud
• Círculo de van Lamoen

• Weisstein, Eric W. "Círculo de Lester". MathWorld .