Teorema de Levinson

El teorema de Levinson es un teorema importante de la teoría de la dispersión. En mecánica cuántica no relativista , relaciona el número de estados ligados en canales con un momento orbital definido con la diferencia de fase de una onda dispersada a momento infinito y cero. Fue publicado por Norman Levinson en 1949. ^{[ 1 ]} El teorema se aplica a una amplia gama de potenciales que aumentan de forma limitada a distancia cero y disminuyen suficientemente rápido a medida que aumenta la distancia.

La diferencia en la${\displaystyle \ell }$desplazamiento de fase de onda - de una onda dispersa en momento infinito,${\displaystyle \varphi (+\infty)}$y momento cero,${\displaystyle \varphi (0)}$, para un potencial esféricamente simétrico${\displaystyle V(r)}$está relacionado con el número de estados ligados${\displaystyle n_{b}}$por:

${\displaystyle \varphi (+\infty )-\varphi (0)=-\pi \left({\frac {1}{2}}n_{0}+n_{b}\right)}$,

dónde${\displaystyle n_{0}=0}$o${\displaystyle 1}$El escenario${\displaystyle n_{0}=1}$es poco común y solo puede ocurrir en${\displaystyle s}$Dispersión de ondas , si existe un estado ligado con energía cero. Las siguientes condiciones son suficientes para garantizar el teorema: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle V(r)}$continuo en${\displaystyle (0,+\infty )}$excepto por un número finito de discontinuidades finitas,

${\displaystyle V(r)=O(r^{-3/2+\varepsilon })~{\text{ cuando }}~r\rightarrow 0,~~\varepsilon >0,}$

${\displaystyle V(r)=O(r^{-3-\varepsilon })~{\text{ cuando }}~r\rightarrow \infty ,~~\varepsilon >0.}$

Entre las generalizaciones del teorema de Levinson se incluyen las fuerzas tensoriales, los potenciales no locales y los efectos relativistas.

En la teoría de dispersión relativista, la información esencial sobre el sistema está contenida en la función de Jost , cuyas propiedades analíticas están bien definidas y pueden usarse para probar y generalizar el teorema de Levinson. La presencia de polos de Castillejo, Dalitz y Dyson (CDD) ^{[ 3 ]} y primitivas de Jaffe y Low ^{[ 4 ]} que corresponden a ceros de la función de Jost en el corte unitario modifica el teorema. En el caso general, la diferencia de fase en momentos de partícula infinitos y cero está determinada por el número de estados ligados,${\displaystyle n_{b}}$, el número de primitivos,${\displaystyle n_{p}}$y el número de polos CDD, ${\displaystyle n_{\text{CDD}}}$: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \varphi (+\infty )-\varphi (0)=-\pi \left({\frac {1}{2}}n_{0}+n_{b}+n_{p}-n_{\text{CDD}}\right)}$.

Los estados ligados y primitivos aportan una contribución negativa a la asintótica de fase, mientras que los polos CDD aportan una contribución positiva. En el contexto de la dispersión potencial, una disminución (aumento) en el desplazamiento de fase de dispersión debido a un mayor momento de partícula se interpreta como la acción de un potencial repulsivo (atractivo). Las siguientes propiedades universales de la función de Jost,${\displaystyle \omega _{J}(s)}$son esenciales para garantizar el teorema generalizado:

${\displaystyle \omega _{J}(s)}$una función analítica del cuadrado de la energía,${\displaystyle s}$, en el marco del centro de masas de las partículas dispersas con un corte desde el umbral hasta el infinito,${\displaystyle n_{b}}$ceros simples por debajo del umbral,${\displaystyle n_{p}}$ceros simples por encima del umbral, y${\displaystyle n_{\text{CDD}}}$polos simples en el eje real. Los ceros corresponden a estados ligados y primitivos en un canal fijo con momento angular total.${\displaystyle J}$.

• Larry Spruch, "Teorema de Levinson", http://physics.nyu.edu/LarrySpruch/LevinsonsTheorem.PDF#Levinson_theorem .
• M. Wellner, "Teorema de Levinson (una derivación elemental) ", Atomic Energy Research Establishment, Harwell, Inglaterra. Marzo de 1964.