Teorema de Levitzky

En matemáticas , más específicamente en la teoría de anillos y la teoría de ideales nil , el teorema de Levitzky , que lleva el nombre de Jacob Levitzki , establece que en un anillo noetheriano derecho, todo ideal unilateral nil es necesariamente nilpotente . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El teorema de Levitzky es uno de los muchos resultados que sugieren la veracidad de la conjetura de Köthe , y de hecho proporcionó una solución a una de las preguntas de Köthe como se describe en ( Levitzki 1945 ) . El resultado fue presentado originalmente en 1939 como ( Levitzki 1950 ) , y una demostración particularmente simple fue dada en ( Utumi 1963 ) .

Este es el argumento de Utumi tal como aparece en ( Lam 2001 , págs. 164-165).

Lema ^{[ 3 ]}

Supongamos que R satisface la condición de cadena ascendente en anuladores de la forma${\displaystyle \{r\in R\mid ar=0\}}$donde a está en R. Entonces

1. Cualquier ideal unilateral nulo está contenido en el radical nulo inferior Nil _* ( R );
2. Todo ideal derecho nulo distinto de cero contiene un ideal derecho nilpotente distinto de cero.
3. Todo ideal izquierdo nulo distinto de cero contiene un ideal izquierdo nilpotente distinto de cero.

Teorema de Levitzki ^{[ 4 ]}

Sea R un anillo noetheriano derecho. Entonces, todo ideal unilateral nulo de R es nilpotente. En este caso, los nilradicales superior e inferior son iguales, y además, este ideal es el mayor ideal nilpotente entre los ideales derechos nilpotentes y entre los ideales izquierdos nilpotentes.

Demostración : En vista del lema anterior , basta con demostrar que el nilradical inferior de R es nilpotente. Dado que R es noetheriano por la derecha, existe un ideal nilpotente maximal N. Por la maximalidad de N , el anillo cociente R / N no tiene ideales nilpotentes no nulos, por lo que R / N es un anillo semiprimo . En consecuencia, N contiene el nilradical inferior de R. Como el nilradical inferior contiene todos los ideales nilpotentes, también contiene N , por lo que N es igual al nilradical inferior. QED

• Ideal nilpotente
• Conjetura de Köthe
• Jacobson radical

• Isaacs, I. Martin (1993), Álgebra, un curso de posgrado (1.ª  ed.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Herstein, IN (1968), Anillos no conmutativos (1.ª  ed.), The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-015-X
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95183-6
• Levitzki, J. (1950), "Sobre sistemas multiplicativos" , Compositio Mathematica , 8 : 76–80 , MR 0033799 . 
• Levitzki, Jakob (1945), "Solución de un problema de G. Koethe", American Journal of Mathematics , 67 (3), The Johns Hopkins University Press: 437–442 , doi : 10.2307/2371958 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371958 , MR 0012269   
• Utumi, Yuzo (1963), "Notas matemáticas: Un teorema de Levitzki", The American Mathematical Monthly , 70 (3), Mathematical Association of America: 286, doi : 10.2307/2313127 , hdl : 10338.dmlcz/101274 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2313127 , MR 1532056