El criterio de Li

En teoría de números , el criterio de Li es una afirmación particular sobre la positividad de una determinada secuencia, equivalente a la hipótesis de Riemann . El criterio recibe su nombre de Xian-Jin Li, quien lo presentó en 1997. En 1999, Enrico Bombieri y Jeffrey C. Lagarias proporcionaron una generalización, demostrando que la condición de positividad de Li se aplica a cualquier conjunto de puntos situados sobre el eje Re( s ) = 1/2.

La función ξ de Riemann viene dada por

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

donde ζ es la función zeta de Riemann . Consideremos la secuencia

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}.}$

El criterio de Li es entonces la afirmación de que

La hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que${\displaystyle \lambda _ {n}>0}$para cada entero positivo${\displaystyle n}$.

Los números${\displaystyle \lambda _{n}}$(a veces definidos con una normalización ligeramente diferente) se denominan coeficientes de Keiper-Li o coeficientes de Li. También pueden expresarse en términos de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann:

${\displaystyle \lambda _{n}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]}$

donde la suma se extiende sobre ρ, los ceros no triviales de la función zeta. Esta suma condicionalmente convergente debe entenderse en el sentido que se usa habitualmente en teoría de números, a saber, que

${\displaystyle \sum _{\rho }=\lim _{N\to \infty }\sum _{|\operatorname {Im} (\rho )|\leq N}.}$

(Re( s ) e Im( s ) denotan las partes real e imaginaria de s , respectivamente).

La positividad de${\displaystyle \lambda _{n}}$ha sido verificado hasta${\displaystyle n=10^{5}}$mediante cálculo directo.

Tenga en cuenta que${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{\rho }}\right|<1\Leftrightarrow |\rho -1|<|\rho |\Leftrightarrow Re(\rho )>1/2}$.

Luego, comenzando con una función completa${\displaystyle f(s)=\prod _{\rho }{\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}}$, dejar${\displaystyle \phi (z)=f\left({\frac {1}{1-z}}\right)}$.

${\displaystyle \phi }$desaparece cuando${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=\rho \Leftrightarrow z=1-{\frac {1}{\rho }}}$. Por eso,${\displaystyle {\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}}$es holomorfo en el disco unitario${\displaystyle |z|<1}$si y solo si${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{\rho }}\right|\geq 1\Leftrightarrow Re(\rho )\leq 1/2}$.

Escribe la serie de Taylor${\displaystyle {\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$. Desde

${\displaystyle \log \phi (z)=\sum _{\rho }{\log \left(1-{\frac {1}{\rho (1-z)}}\right)}=\sum _{\rho }{\log \left(1-{\frac {1}{\rho }}-z\right)-\log(1-z)}}$

tenemos

${\displaystyle {\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}=\sum _{\rho }{{\frac {1}{1-z}}-{\frac {1}{1-{\frac {1}{\rho }}-z}}}}$

de modo que

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\rho }{1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{-n-1}}=\sum _{\rho }{1-\left(1-{\frac {1}{1-\rho }}\right)^{n+1}}}$.

Finalmente, si cada cero${\displaystyle \rho }$viene acompañado de su conjugado complejo${\displaystyle {\bar {\rho }}}$, entonces podemos combinar términos para obtener

La condición${\displaystyle Re(\rho )\leq 1/2}$entonces se vuelve equivalente a${\displaystyle \lim \sup _{n\to \infty }|c_{n}|^{1/n}\leq 1}$. El lado derecho de ( 1 ) es obviamente no negativo cuando ambos${\displaystyle n\geq 0}$y${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{1-\rho }}\right|\leq 1\Leftrightarrow \left|1-{\frac {1}{\rho }}\right|\geq 1\Leftrightarrow Re(\rho )\leq 1/2}$. Por el contrario, ordenar el${\displaystyle \rho }$por${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{1-\rho }}\right|}$, vemos que el más grande${\displaystyle \left|1-{\frac {1}{1-\rho }}\right|>1}$término (${\displaystyle \Leftrightarrow Re(\rho )>1/2}$) domina la suma como${\displaystyle n\to \infty }$y por lo tanto${\displaystyle c_{n}}$a veces se vuelve negativo. P. Freitas (2008). "un criterio de tipo Li para semiplanos libres de ceros de la función zeta de Riemann". arXiv : math.MG/0507368 .

Bombieri y Lagarias demuestran que un criterio similar se cumple para cualquier colección de números complejos y, por lo tanto, no está restringido a la hipótesis de Riemann. Más precisamente, sea R  =  { ρ } cualquier colección de números complejos ρ , que no contenga ρ  =  1, que satisfaga

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {1+\left|\operatorname {Re} (\rho )\right|}{(1+|\rho |)^{2}}}<\infty .}$

Entonces se pueden hacer varias afirmaciones equivalentes sobre dicho conjunto. Una de esas afirmaciones es la siguiente:

Uno tiene${\displaystyle \operatorname {Re} (\rho )\leq 1/2}$para cada ρ si y solo si

${\displaystyle \sum _{\rho }\operatorname {Re} \left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{-n}\right]\geq 0}$

para todos los enteros positivos n .

Se puede hacer una afirmación más interesante si el conjunto R obedece una cierta ecuación funcional bajo la sustitución s  ↦  1 − s . Es decir, si, siempre que ρ esté en R , entonces tanto el conjugado complejo como  ${\displaystyle {\overline {\rho }}}$y${\displaystyle 1-\rho }$Si están en R , entonces el criterio de Li se puede enunciar como:

Se tiene Re( ρ )  =  1/2 para cada ρ si y solo si

${\displaystyle \sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]\geq 0}$

para todos los enteros positivos n .

Bombieri y Lagarias también demuestran que el criterio de Li se deriva del criterio de Weil para la hipótesis de Riemann.

En 2006, P. Freitas demostró que todos los ceros de la función zeta de Riemann se encuentran dentro de la región${\displaystyle \Re (s)\leq \tau /2}$, dónde${\displaystyle \tau \in [1/2,\infty )}$si y solo si los números

${\displaystyle \sum _{\rho }\left[1-\left({\frac {\rho }{\rho -\tau }}\right)^{n}\right]}$

son no negativos para todos los enteros positivos${\displaystyle n}$Estos coeficientes se denominan${\displaystyle \tau }$-coeficientes de Li . ^{[ 1 ]} A. Droll ^{[ 2 ]} generalizó los resultados a la clase de Selberg extendida , A. Bucur, A.-M. Ernvall-Hytönen, A. Odžak y L. Smajlović ^{[ 3 ]} investigaron el comportamiento de los coeficientes para ciertas funciones que violan la hipótesis de Riemann, y N. Palojärvi ^{[ 4 ]} demostró condiciones explícitas entre un número finito de${\displaystyle \tau }$-Coeficientes de Li y regiones libres de ceros.

• Arias de Reyna, Juan (2011). "Asymptotics of Keiper-Li coefficients". Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici. 45 (1): 7–21. doi:10.7169/facm/1317045228.

• Bombieri, Enrico; Lagarias, Jeffrey C. (1999). "Complements to Li's criterion for the Riemann hypothesis". Journal of Number Theory. 77 (2): 274–287. doi:10.1006/jnth.1999.2392. MR 1702145.

• Johansson, Fredrik (2015). "Rigorous high-precision computation of the Hurwitz zeta function and its derivatives". Numerical Algorithms. 69 (2): 253–270. arXiv:1309.2877. doi:10.1007/s11075-014-9893-1. S2CID 10344040.

• Keiper, Jerry B (1992). "Power series expansions of Riemann's 𝜉 function". Mathematics of Computation. 58 (198): 765–773. doi:10.2307/2153215. JSTOR 2153215.

• Lagarias, Jeffrey C. (2004). "Li coefficients for automorphic L-functions". Annales de l'Institut Fourier. 57 (2007): 1689–1740. arXiv:math.MG/0404394. Bibcode:2004math......4394L. doi:10.5802/aif.2311. S2CID 16385403.

• Li, Xian-Jin (1997). "The positivity of a sequence of numbers and the Riemann hypothesis". Journal of Number Theory. 65 (2): 325–333. doi:10.1006/jnth.1997.2137. MR 1462847.