Identidad de Li Shanlan

En matemáticas , en combinatoria , la identidad de Li Shanlan (también llamada fórmula de suma de Li Shanlan ) es una identidad combinatoria atribuida al matemático chino del siglo XIX Li Shanlan . ^{[ 1 ]} Dado que Li Shanlan también es conocido como Li Renshu (su nombre de cortesía ), esta identidad también se denomina identidad de Li Renshu . ^{[ 2 ]} Esta identidad aparece en el tercer capítulo de Duoji bilei (垛积比类 / 垛積比類, que significa suma de series finitas ), un texto matemático escrito por Li Shanlan y publicado en 1867 como parte de sus obras completas. Un matemático checo, Josef Kaucky, publicó una demostración elemental de la identidad junto con una historia de la misma en 1964. ^{[ 3 ]} Kaucky atribuyó la identidad a un tal Li Jen-Shu. Según el relato de la historia de la identidad, se ha comprobado que Li Jen-Shu es en realidad Li Shanlan. ^{[ 1 ]} Los eruditos occidentales habían estado estudiando las matemáticas chinas por su valor histórico; pero la atribución de esta identidad a un matemático chino del siglo XIX provocó una reconsideración del valor matemático de los escritos de los matemáticos chinos. ^{[ 2 ]}

La identidad de Li Shanlan afirma que

${\displaystyle \sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+2p-k} \choose {2p}}={{n+p} \choose p}^{2}}$.

Li Shanlan no presentó la identidad de esta manera. La presentó de la forma tradicional china, algorítmica y retórica. ^{[ 4 ]}

Li Shanlan no había dado una demostración de la identidad en Duoji bilei . La primera demostración que utilizaba ecuaciones diferenciales y polinomios de Legendre , conceptos ajenos a Li, fue publicada por Pál Turán en 1936, y la demostración apareció en chino en el artículo de Yung Chang publicado en 1939. ^{[ 2 ]} Desde entonces se han encontrado al menos quince demostraciones diferentes. ^{[ 2 ]} La siguiente es una de las demostraciones más sencillas. ^{[ 5 ]}

La demostración comienza expresando${\displaystyle n \choose q}$como la convolución de Vandermonde :

${\displaystyle {n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{{np} \choose k}{p \choose {qk}}}$

Premultiplicando ambos lados por${\displaystyle n \choose p}$,

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{n \choose p}{{np} \choose k}{p \choose {qk}}}$.

Utilizando la siguiente relación

${\displaystyle {n \choose p}{{np} \choose k}={{p+k} \choose k}{n \choose {p+k}}}$

La relación anterior se puede transformar en

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{p \choose {qk}}{{p+k} \choose k}{n \choose {p+k}}}$.

A continuación, la relación

${\displaystyle {p \choose {qk}}{{p+k} \choose {k}}={q \choose k}{{p+k} \choose {q}}}$

se utiliza para obtener

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}{{p+k} \choose q}}$.

Otra aplicación de la convolución de Vandermonde produce

${\displaystyle {{p+k} \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{k \choose {qj}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{k \choose {qj}}}$

Desde${\displaystyle p \choose j}$es independiente de k , esto se puede expresar de la forma

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}{k \choose {q-j}}}$

A continuación, el resultado

${\displaystyle {q \choose k}{k \choose {q-j}}={q \choose j}{j \choose {q-k}}}$

da

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}\sum _{k=0}^{q}{q \choose j}{j \choose {q-k}}{n \choose {p+k}}}$

${\displaystyle =\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{q \choose j}\sum _{k=0}^{q}{j \choose {q-k}}{n \choose {p+k}}}$

${\displaystyle =\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{q \choose j}{{n+j} \choose {p+q}}}$

Si establecemos p = q y reemplazamos j por k ,

${\displaystyle {n \choose p}^{2}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+k} \choose {2p}}}$

La identidad de Li se deduce de esto reemplazando n por n + p y realizando una reordenación de los términos en la expresión resultante:

${\displaystyle {{n+p} \choose p}^{2}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+2p-k} \choose {2p}}}$

El término duoji designa un método tradicional chino para calcular sumas de pilas. Gran parte de las matemáticas desarrolladas en China desde el siglo XVI están relacionadas con el método duoji . Li Shanlan fue uno de los máximos exponentes de este método, y Duoji bilei es una exposición de su obra relacionada con él. Duoji bilei consta de cuatro capítulos: el Capítulo 1 trata sobre pilas triangulares, el Capítulo 2 sobre series de potencias finitas , el Capítulo 3 sobre pilas triangulares automultiplicantes y el Capítulo 4 sobre pilas triangulares modificadas. ^{[ 6 ]}