Punto de Lagrange

El punto L1 se encuentra en la línea definida entre las dos grandes masas M1 y _M2 . Es el punto donde la atracción gravitatoria de _M2 ​​y la de M1 _se combinan para producir un equilibrio. Un objeto que orbita alrededor del Sol más cerca que la Tierra normalmente tendría un período orbital más corto que la Tierra, pero esto ignora el efecto de la atracción gravitatoria terrestre. Si el objeto se encuentra directamente entre la Tierra y el Sol, _{la gravedad} terrestre contrarresta parte de la atracción solar sobre el objeto, aumentando su período orbital. Cuanto más cerca de la Tierra esté el objeto, mayor será este efecto. En el punto L1 , el período orbital del objeto se vuelve exactamente igual al período orbital de la Tierra. L1 se encuentra a unos 1,5 millones _de kilómetros, o 0,01 ua , de la Tierra en dirección al Sol _. ^{[ 1 ]} 

El punto L2 _se encuentra en la línea que pasa por las dos grandes masas más allá de la más pequeña de las dos. Aquí, las fuerzas gravitatorias combinadas de las dos grandes masas equilibran la fuerza centrífuga sobre un cuerpo en L2 . En el lado _opuesto de la Tierra con respecto al Sol, el período orbital de un objeto normalmente sería mayor que el de la Tierra. La atracción adicional de la gravedad de la Tierra disminuye el período orbital del objeto, y en el punto L2 , ese período orbital se vuelve igual al de la Tierra. Al igual que L1 _, L2 _está a unos 1,5 millones _de kilómetros o 0,01 ua de la Tierra (lejos del Sol). Un ejemplo de una nave espacial diseñada para operar cerca del L2 Tierra-Sol _es el Telescopio Espacial James Webb. ^{[ 8 ]} Ejemplos anteriores incluyen la Sonda de Anisotropía de Microondas Wilkinson y su sucesora, Planck . 

El punto L3 se encuentra en la línea definida por las dos grandes masas, más allá de la mayor de ellas. Dentro del sistema Sol-Tierra, el punto L3 se ubica en el lado opuesto del Sol, ligeramente fuera de _la órbita terrestre y un poco más alejado del baricentro del sistema Tierra-Sol que la propia Tierra. Esta ubicación se debe a que el Sol también se ve afectado por la gravedad terrestre y, por lo tanto, orbita alrededor del baricentro de ambos cuerpos _, que se encuentra bastante dentro del Sol. Un objeto a la distancia de la Tierra del Sol tendría un período orbital de un año si solo se considerara la gravedad solar. Sin embargo, un objeto en el lado opuesto del Sol con respecto a la Tierra y alineado directamente con ambos cuerpos "siente" la gravedad terrestre que se suma ligeramente a la del Sol y, por lo tanto, debe orbitar un poco más lejos del baricentro de la Tierra y el Sol para tener el mismo período de un año. Es en el punto L3 donde la atracción combinada de la Tierra y el Sol hace que el objeto orbite con el mismo período que la Tierra, orbitando efectivamente una masa Tierra+Sol con el baricentro Tierra-Sol en uno de los focos de su órbita. Para el argumento anterior, es importante distinguir entre el centro del Sol y el baricentro Tierra-Sol. La distancia entre el _punto L3 y el centro del Sol es en realidad menor que la distancia entre el centro de la Tierra y el centro del Sol _. ^{[ 9 ]}

Los puntos L ₄ y L ₅ se encuentran en los terceros vértices de los dos triángulos equiláteros en el plano de la órbita cuya base común es la línea entre los centros de las dos masas, de manera que el punto se encuentra 60° delante ( L ₄ ) o detrás ( L ₅ ) de la masa más pequeña con respecto a su órbita alrededor de la masa más grande.

Los puntos triangulares ( L4 _y L5 ) son equilibrios estables, siempre que la relación de M1 /M2 sea mayor _que 24,96 . ^{[ a ] Este es el caso del sistema} Sol _{- Tierra , el sistema Sol- Júpiter} y, por un margen menor, el sistema Tierra-Luna. Cuando un cuerpo en estos puntos es perturbado, se aleja del punto, pero el factor opuesto al que aumenta o disminuye debido a la perturbación (ya sea la gravedad o la velocidad inducida por el momento angular) también aumentará o disminuirá, curvando la trayectoria del objeto hacia una órbita estable en forma de riñón alrededor del punto (como se ve en el sistema de referencia corrotante). ^{[ 10 ]}

Los puntos L1 , L2 y L3 son posiciones de equilibrio inestable . Cualquier objeto que orbite en _L1 , L2 o L3 tenderá a salirse de _{su órbita; por lo tanto , es raro encontrar objetos naturales allí, y las} naves espaciales que habitan estas áreas deben emplear una pequeña pero crucial maniobra de mantenimiento de posición _para conservar su rumbo.

La ubicación de L ₁ es la solución de la siguiente ecuación, donde la gravedad proporciona la fuerza centrípeta: $${\displaystyle {\frac {M_{1}}{(Rr)^{2}}}-{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}Rr\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$ donde r es la distancia del punto L ₁ al objeto más pequeño, R es la distancia entre los dos objetos principales, y M ₁ y M ₂ son las masas del objeto grande y pequeño, respectivamente. La cantidad entre paréntesis a la derecha es la distancia de L ₁ al centro de masa. La solución para r es la única raíz real de la siguiente función quíntica.

$${\displaystyle x^{5}+(\mu -3)x^{4}+(3-2\mu )x^{3}-(\mu )x^{2}+(2\mu )x-\mu =0}$$ dónde$${\displaystyle \mu ={\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}}$$ es la fracción de masa de M ₂ y$${\displaystyle x={\frac {r}{R}}}$$ es la distancia normalizada. Si la masa del objeto más pequeño ( M2 ) es mucho menor que la masa del objeto más grande ( _M1 ) _, entonces L1 y L2 están aproximadamente a distancias iguales r del objeto más pequeño, iguales al radio de la _{esfera de} Hill , dado por: $${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3}}}}$$

También podemos escribirlo como: $${\displaystyle {\frac {M_{2}}{r^{3}}}\approx 3{\frac {M_{1}}{R^{3}}}}$$ Dado que el efecto de marea de un cuerpo es proporcional a su masa dividida por el cubo de la distancia, esto significa que el efecto de marea del cuerpo más pequeño en el punto L1 _o en el punto L2 _es aproximadamente tres veces mayor que el de ese cuerpo. También podemos escribir: $${\displaystyle \rho _{2}\left({\frac {d_{2}}{r}}\right)^{3}\approx 3\rho _{1}\left({\frac {d_{1}}{R}}\right)^{3}}$$ donde ρ ₁ y ρ ₂ son las densidades promedio de los dos cuerpos y d ₁ y d ₂ son sus diámetros. La relación entre el diámetro y la distancia da el ángulo subtendido por el cuerpo, lo que demuestra que, vistos desde estos dos puntos de Lagrange, los tamaños aparentes de los dos cuerpos serán similares, especialmente si la densidad del más pequeño es aproximadamente tres veces mayor que la del más grande, como en el caso de la Tierra y el Sol.

Esta distancia se puede describir como tal que el período orbital , correspondiente a una órbita circular con esta distancia como radio alrededor de M ₂ en ausencia de M ₁ , es el de M ₂ alrededor de M ₁ , dividido por √ 3 ≈ 1,73: $${\displaystyle T_{s,M_{2}}(r)={\frac {T_{M_{2},M_{1}}(R)}{\sqrt {3}}}.}$$

La ubicación de L2 _es la solución de la siguiente ecuación, donde la gravedad proporciona la fuerza centrípeta: $${\displaystyle {\frac {M_{1}}{(R+r)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}R+r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$ con parámetros definidos como para el caso L _1. La ecuación quíntica correspondiente es $${\displaystyle x^{5}+x^{4}(3-\mu )+x^{3}(3-2\mu )-x^{2}(\mu )-x(2\mu )-\mu =0}$$

Nuevamente, si la masa del objeto más pequeño ( _M2 ) es mucho menor que la masa del objeto más grande ( M1 ) _, entonces L2 _está aproximadamente en el radio de la esfera de Hill , dado por: $${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3}}}}$$

Las mismas observaciones sobre la influencia de las mareas y el tamaño aparente se aplican como para el punto L _1. Por ejemplo, el radio angular del Sol visto desde L ₂ es arcsin( ⁠695,5 × 10³ ^/​151,1 × 10 ⁶ ⁠) ≈ 0,264°, mientras que el de la Tierra es arcsin(⁠ 6371 /1,5 × 10⁶ ^⁠ ) ≈ 0,242°. Mirando hacia el Sol desde L₂_seobserva uneclipse anular. Es necesario que una nave espacial, comoGaia, siga unaórbita de Lissajousounaórbita de haloalrededor de L₂_paraque sus paneles solares reciban la luz solar completa.

La ubicación de L3 _es la solución de la siguiente ecuación, donde la gravedad proporciona la fuerza centrípeta: $${\displaystyle {\frac {M_{1}}{\left(Rr\right)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{\left(2R-r\right)^{2}}}=\left({\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}R+Rr\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$ con parámetros M ₁ , M ₂ , y R definidos como para los casos L ₁ y L ₂ , y r definido de tal manera que la distancia de L ₃ al centro del objeto más grande sea R  − r . Si la masa del objeto más pequeño ( M ₂ ) es mucho menor que la masa del objeto más grande ( M ₁ ), entonces: ^{[ 21 ]} 

$${\displaystyle r\approx R(1-{\tfrac {5}{12}}\mu ).}$$

Por lo tanto, la distancia desde L ₃ al objeto más grande es menor que la separación entre los dos objetos (aunque la distancia entre L ₃ y el baricentro es mayor que la distancia entre el objeto más pequeño y el baricentro).

_{La razón por la que} estos puntos están en equilibrio es que en L4 y L5 las distancias a las dos masas son iguales. Por consiguiente, las fuerzas gravitatorias de los dos cuerpos masivos guardan la misma proporción que sus masas, y así la fuerza resultante actúa a través del baricentro del sistema. Además, la geometría del triángulo asegura que la aceleración resultante guarda la misma proporción con la distancia al baricentro que para los dos cuerpos masivos. Siendo el baricentro el centro de masa y el centro de rotación del sistema de tres cuerpos, esta fuerza resultante es precisamente la necesaria para mantener al cuerpo más pequeño en el punto de Lagrange en equilibrio orbital con los otros dos cuerpos más grandes del sistema (de hecho, el tercer cuerpo debe tener una masa despreciable). La configuración triangular general fue descubierta por Lagrange mientras trabajaba en el problema de los tres cuerpos .

La aceleración radial a de un objeto en órbita en un punto a lo largo de la línea que pasa por ambos cuerpos viene dada por: $${\displaystyle a=-{\frac {GM_{1}}{r^{2}}}\operatorname {sgn}(r)+{\frac {GM_{2}}{(Rr)^{2}}}\operatorname {sgn}(Rr)+{\frac {G{\bigl (}(M_{1}+M_{2})r-M_{2}R{\bigr )}}{R^{3}}}}$$ donde r es la distancia desde el cuerpo grande M ₁ , R es la distancia entre los dos objetos principales, y sgn( x ) es la función signo de x . Los términos de esta función representan respectivamente: fuerza de M ₁ ; fuerza de M ₂ ; y fuerza centrípeta. Los puntos L ₃ , L ₁ , L ₂ se encuentran donde la aceleración es cero — ver el gráfico de la derecha. La aceleración positiva es la aceleración hacia la derecha del gráfico y la aceleración negativa es hacia la izquierda; por eso la aceleración tiene signos opuestos en lados opuestos de los pozos de gravedad.

_{El punto} L1 del sistema Sol-Tierra es adecuado para realizar observaciones del sistema Sol-Tierra. Los objetos aquí nunca son sombreados por la Tierra ni por la Luna y, si se observa la Tierra, siempre se ve el hemisferio iluminado por el Sol. La primera misión de este tipo fue la misión International Sun Earth Explorer 3 (ISEE-3) de 1978, utilizada como un monitor interplanetario de alerta temprana de tormentas para perturbaciones solares. ^{[ 26 ]} Desde junio de 2015, DSCOVR ha orbitado el punto L1 _{. Por otra parte, también es útil para} telescopios solares espaciales , porque proporciona una vista ininterrumpida del Sol y cualquier fenómeno meteorológico espacial (incluido el viento solar y las eyecciones de masa coronal ) llega a L1 _hasta una hora antes que a la Tierra. Las misiones solares y heliosféricas actualmente ubicadas alrededor de L1 _incluyen el Observatorio Solar y Heliosférico , Wind , la misión Aditya-L1 _y el Advanced Composition Explorer . Entre las misiones planificadas se incluyen la Sonda de Mapeo y Aceleración Interestelar (IMAP) y el NEO Surveyor . Recientemente, también se han explorado conceptos como el posicionamiento de una gran membrana de ocultación en el punto L1 _, como parte de una solución espacial para la gestión de la radiación solar con el fin de mitigar el calentamiento global. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

_{El punto} L2 del sistema Sol-Tierra es un buen lugar para observatorios espaciales. Dado que un objeto cerca de _L2 mantendrá la misma posición relativa con respecto al Sol y la Tierra, el blindaje y la calibración son mucho más sencillos. Sin embargo, está ligeramente fuera del alcance de la umbra terrestre , ^{[ 29 ]} por lo que la radiación solar no se bloquea por completo en L2 _. Las naves espaciales generalmente orbitan alrededor de L2 _, evitando eclipses parciales del Sol para mantener una temperatura constante. Desde ubicaciones cercanas a L2 _, el Sol, la Tierra y la Luna están relativamente cerca en el cielo; esto significa que un gran parasol con el telescopio en el lado oscuro puede permitir que el telescopio se enfríe pasivamente hasta alrededor de 50 K, lo que es especialmente útil para la astronomía infrarroja y las observaciones del fondo cósmico de microondas . El Telescopio Espacial James Webb se posicionó en una órbita de halo alrededor de L2 _el 24 de enero de 2022.

_{Los puntos} L1 y L2 _del sistema Sol-Tierra son puntos de silla y presentan una inestabilidad exponencial con una constante de tiempo de aproximadamente 23 días. Los satélites situados en estos puntos se desviarán de su trayectoria en pocos meses a menos que se realicen correcciones de rumbo. ^{[ 10 ]}

_{El punto} L3 del sistema Sol-Tierra era un lugar popular para ubicar una " contratierra " en la ciencia ficción pulp y los cómics , a pesar de que la existencia de un cuerpo planetario en esta ubicación se había entendido como imposible una vez que se comprendieron la mecánica orbital y las perturbaciones de los planetas sobre las órbitas de los demás, mucho antes de la Era Espacial; la influencia de un cuerpo del tamaño de la Tierra sobre otros planetas no habría pasado desapercibida, ni tampoco el hecho de que los focos de la elipse orbital de la Tierra no habrían estado en sus lugares esperados, debido a la masa de la contratierra. Sin embargo, el punto L3 del sistema Sol-Tierra _es un punto de silla débil y exponencialmente inestable con una constante de tiempo de aproximadamente 150 años. ^{[ 10 ]} Además, no podría contener un objeto natural, grande o pequeño, por mucho tiempo porque las fuerzas gravitacionales de los otros planetas son más fuertes que la de la Tierra (por ejemplo, Venus se acerca a 0,3 UA de este L3 cada 20 _meses ). ^{[ 30 ]}  

_{Una nave espacial en órbita cerca del punto} L3 del sistema Sol-Tierra podría monitorear de cerca la evolución de las regiones activas de manchas solares antes de que roten a una posición geoefectiva, de modo que el Centro de Predicción del Clima Espacial de la NOAA podría emitir una alerta temprana de siete días . Además, un satélite cerca del punto L3 del sistema Sol-Tierra _{proporcionaría} observaciones muy importantes no solo para los pronósticos terrestres, sino también para el apoyo al espacio profundo (predicciones de Marte y para misiones tripuladas a asteroides cercanos a la Tierra ). En 2010, se estudiaron las trayectorias de transferencia de naves espaciales al _punto L3 del sistema Sol-Tierra y se consideraron varios diseños. ^{[ 31 ]}

El punto lagrangiano L1 _entre la Tierra y la Luna permite un acceso relativamente fácil a las órbitas lunar y terrestre con un cambio mínimo de velocidad, lo que representa una ventaja para ubicar una estación espacial habitable destinada a transportar carga y personal a la Luna y de regreso. La misión SMART-1 ^{[ 32 ]} atravesó el punto lagrangiano L1 _{el 11 de noviembre de 2004 y entró en la zona dominada por la influencia} gravitatoria de la Luna .

El sistema Tierra-Luna L ₂ se ha utilizado para un satélite de comunicaciones que cubre la cara oculta de la Luna, por ejemplo, Queqiao , lanzado en 2018, ^{[ 33 ]} y sería "una ubicación ideal" para un depósito de propulsor como parte de la arquitectura de transporte espacial basada en depósitos propuesta. ^{[ 34 ]}

Los puntos lagrangianos L4 y L5 _{del sistema} Tierra-Luna son las ubicaciones de las nubes de polvo de Kordylewski . ^{[ 35 ]} El nombre de la Sociedad L5 proviene de los puntos lagrangianos _L4 y L5 _del sistema Tierra-Luna, propuestos como ubicaciones para sus enormes hábitats espaciales giratorios. Ambas posiciones también se proponen para satélites de comunicaciones que cubren la Luna, de forma similar a como los satélites de comunicaciones en órbita geosíncrona cubren la Tierra. ^{[ 36 ] [ 37 ]}

Los científicos de la Fundación B612 ^[ 38 ^] planeaban usar ^el _{punto L3} de Venus para posicionar su telescopio Sentinel planeado , que tenía como objetivo mirar hacia la órbita de la Tierra y compilar un catálogo de asteroides cercanos a la Tierra . ^{[ 39 ]}

En 2017, en una conferencia de la NASA se debatió la idea de colocar un escudo de dipolo magnético en el _punto L1 Sol-Marte para usarlo como magnetosfera artificial para Marte. ^{[ 40 ]} La idea es que esto protegería la atmósfera del planeta de la radiación solar y los vientos solares.