Fórmula de Lichnerowicz

La fórmula de Lichnerowicz (también conocida como fórmula de Lichnerowicz-Weitzenböck ) es una ecuación fundamental en el análisis de espinores en variedades pseudoriemannianas . En dimensión 4, constituye una parte de la teoría de Seiberg-Witten y otros aspectos de la teoría de gauge . Recibe su nombre de los destacados matemáticos André Lichnerowicz, quien la demostró en 1963, y Roland Weitzenböck . La fórmula establece una relación entre el operador de Dirac y el operador de Laplace-Beltrami que actúan sobre espinores, en la que la curvatura escalar aparece de forma natural. El resultado es significativo porque proporciona una interfaz entre los resultados del estudio de ecuaciones diferenciales parciales elípticas , los resultados relativos a la curvatura escalar y los resultados sobre espinores y estructuras de espín.

Dada una estructura de espín en una variedad pseudoriemanniana M y un fibrado espinorial S , la fórmula de Lichnerowicz establece que en una sección ψ de S ,

${\displaystyle D^{2}\psi =\nabla ^{*}\nabla \psi +{\frac {1}{4}}\operatorname {Sc} \psi }$

donde Sc denota la curvatura escalar y${\displaystyle \nabla ^{*}\nabla }$es la conexión Laplaciano . Más generalmente, dada una estructura de espín compleja en una variedad pseudoriemanniana M , un fibrado espinorial W ^± con sección${\displaystyle \phi }$y una conexión A en su fibrado lineal determinante L , la fórmula de Lichnerowicz es

${\displaystyle D_{A}^{*}D_{A}\phi =\nabla _{A}^{*}\nabla _{A}\phi +{\frac {1}{4}}R\phi +{\frac {1}{2}}\langle F_{A}^{+},\phi \rangle .}$

Aquí,${\displaystyle D_{A}}$es el operador de Dirac${\displaystyle D_{A}:\Gamma (W^{+})\to \Gamma (W^{-}),}$y${\displaystyle \nabla _{A}}$es la derivada covariante asociada con la conexión A,${\displaystyle \nabla _{A}:\Gamma (W^{+})\to \Gamma (W^{+}\otimes T_{M}^{*})}$.${\displaystyle R}$es la curvatura escalar usual (una contracción del tensor de Ricci ) y${\displaystyle F_{A}^{+}}$es la parte autodual de la curvatura de A. Los asteriscos denotan el adjunto de la cantidad y los corchetes${\displaystyle \langle ,\rangle }$denota la acción de Clifford .

• Fórmula de Weitzenböck

• Lichnerowicz, A. (1963), "Spineurs harmoniques" , CR Acad. Ciencia. París , 257 : 7– 9
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Geometría de espín , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08542-5
• LeBrun, Claude (2002), Métricas de Einstein, 4-variedades y topología diferencial
• Scorpan, Alexandru (2005), El salvaje mundo de las 4-variedades , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society