Automorfismo de un álgebra de Lie

En álgebra abstracta , un automorfismo de un álgebra de Lie es un isomorfismo de a sí mismo, es decir, una función lineal biyectiva que conserva el corchete de Lie. El conjunto de automorfismos de se denotan como , el grupo de automorfismos de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\text{Aut}}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El subgrupo de generado mediante la acción adjunta se denomina grupo de automorfismos internos de . El grupo se denota . Estos forman un subgrupo normal en el grupo de automorfismos, y el cociente se conoce como grupo de automorfismos externos . ^[1]${\displaystyle \nombre del operador {Aut} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle e^{\operatorname {ad} (x)},x\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \nombre del operador {Aut} ^{0}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})/\operatorname {Aut} ^{0}({\mathfrak {g}})}$

Se sabe que el grupo de automorfismos externos para un álgebra de Lie simple es isomorfo al grupo de automorfismos de diagrama para el diagrama de Dynkin correspondiente en la clasificación de las álgebras de Lie. ^[2] Las únicas álgebras con un grupo de automorfismos externos no triviales son, por lo tanto, y . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle A_{n}(n\geq 2),D_{n}}$$Estilo de visualización E_{6}$

Existen formas de realizar concretamente estos automorfismos en las representaciones matriciales de estos grupos. Para , el automorfismo se puede realizar como la transpuesta negativa. Para , el automorfismo se obtiene conjugando por una matriz ortogonal en con determinante -1. ${\displaystyle A_{n}={\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )}$${\displaystyle D_{n}={\mathfrak {entonces}}(2n)}$${\displaystyle O(2n)}$

Una derivación en un álgebra de Lie es una función lineal que satisface la regla de Leibniz. El conjunto de derivaciones en un álgebra de Lie se denota como , y es una subálgebra de los endomorfismos en , es decir . Heredan una estructura de álgebra de Lie de la estructura de álgebra de Lie en el álgebra de endomorfismos, y el cierre del corchete se sigue de la regla de Leibniz. $${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$$ $${\displaystyle \delta [X,Y]=[\delta X,Y]+[X,\delta Y].}$$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {der} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {der} ({\mathfrak {g}})<\operatorname {Fin} ({\mathfrak {g}})}$

Debido a la identidad de Jacobi , se puede demostrar que la imagen de la representación adjunta se encuentra en . ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {Fin} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \operatorname {der} ({\mathfrak {g}})}$

A través de la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie , el grupo de Lie de automorfismos corresponde al álgebra de Lie de derivaciones . ${\displaystyle \nombre del operador {Aut} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \operatorname {der} ({\mathfrak {g}})}$

Para lo finito, todas las derivaciones son internas. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Para cada uno en un grupo de Lie , denotemos el diferencial en la identidad de la conjugación por . Entonces es un automorfismo de , la acción adjunta por .${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$${\estilo de visualización g}$${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Mentira} (G)}$${\estilo de visualización g}$

El teorema de Borel-Morozov establece que cada subálgebra resoluble de un álgebra de Lie semisimple compleja puede ser mapeada a una subálgebra de una subálgebra de Cartan de mediante un automorfismo interno de . En particular, dice que , donde son espacios raíz, es una subálgebra resoluble máxima (es decir, una subálgebra de Borel ). ^[3]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }=:{\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}^{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

• E. Cartan, Le principe de dualité et la théorie des groupes simples et semi-simples. Toro. Carolina del Sur. matemáticas. 49, 1925, págs. 361–374.
• Humphreys, James (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Springer. ISBN 0387900535.
• Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Álgebras de mentira complejas semisimples ], traducido por Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.