Forma diferencial con valores en el álgebra de Lie

En geometría diferencial , una forma con valores en un álgebra de Lie es una forma diferencial con valores en un álgebra de Lie . Estas formas tienen aplicaciones importantes en la teoría de conexiones en un fibrado principal , así como en la teoría de conexiones de Cartan .

Una diferencial con valores en un álgebra de Lie${\displaystyle k}$-forma en una variedad,${\displaystyle M}$es una sección lisa del paquete${\displaystyle ({\mathfrak {g}}\times M)\otimes \wedge ^{k}T^{*}M}$, dónde${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie ,${\displaystyle T^{*}M}$es el haz cotangente de${\displaystyle M}$y${\displaystyle \wedge ^{k}}$denota el${\displaystyle k^{\text{o}}}$energía exterior .

El producto exterior de formas diferenciales ordinarias de valor real se define mediante la multiplicación de números reales. Para un par de formas diferenciales con valores en un álgebra de Lie, el producto exterior se puede definir de manera similar, pero sustituyendo la operación de corchete de Lie bilineal para obtener otra forma con valores en un álgebra de Lie. Para un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-valorado${\displaystyle p}$-forma${\displaystyle \omega }$y un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-valorado${\displaystyle q}$-forma${\displaystyle \eta }$, su producto en forma de cuña${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$es dado por

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},\dotsc ,v_{p+q})={1 \over p!q!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )[\omega (v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (p)}),\eta (v_{\sigma (p+1)},\dotsc ,v_{\sigma (p+q)})],}$

donde el${\displaystyle v_{i}}$Los son vectores tangentes. La notación tiene como objetivo indicar ambas operaciones involucradas. Por ejemplo, si${\displaystyle \omega }$y${\displaystyle \eta }$son formas con valores de álgebra de Lie, entonces uno tiene

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})].}$

La operación${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$También se puede definir como la operación bilineal en${\displaystyle \Omega (M,{\mathfrak {g}})}$satisfactorio

${\displaystyle [(g\otimes \alpha )\wedge (h\otimes \beta )]=[g,h]\otimes (\alpha \wedge \beta )}$

a pesar de${\displaystyle g,h\in {\mathfrak {g}}}$y${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega (M,\mathbb {R} )}$.

Algunos autores han utilizado la notación${\displaystyle [\omega ,\eta ]}$en lugar de${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$. La notación${\displaystyle [\omega ,\eta ]}$, que se asemeja a un conmutador , se justifica por el hecho de que si el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$entonces es un álgebra matricial${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$no es más que el conmutador graduado de${\displaystyle \omega }$y${\displaystyle \eta }$, es decir si${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M,{\mathfrak {g}})}$y${\displaystyle \eta \in \Omega ^{q}(M,{\mathfrak {g}})}$entonces

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]=\omega \wedge \eta -(-1)^{pq}\eta \wedge \omega ,}$

dónde${\displaystyle \omega \wedge \eta ,\ \eta \wedge \omega \in \Omega ^{p+q}(M,{\mathfrak {g}})}$son productos de cuña formados mediante la multiplicación de matrices en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Dejar${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$sea ​​un homomorfismo de álgebra de Lie . Si${\displaystyle \varphi }$es un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$forma valorada en una variedad, entonces${\displaystyle f(\varphi )}$es un${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$forma valorada en la misma variedad obtenida al aplicar${\displaystyle f}$a los valores de${\displaystyle \varphi }$:${\displaystyle f(\varphi )(v_{1},\dotsc ,v_{k})=f(\varphi (v_{1},\dotsc ,v_{k}))}$.

De manera similar, si${\displaystyle f}$es un funcional multilineal en${\displaystyle \textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$, entonces se pone ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(\varphi _{1},\dotsc ,\varphi _{k})(v_{1},\dotsc ,v_{q})={1 \over q!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )f(\varphi _{1}(v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (q_{1})}),\dotsc ,\varphi _{k}(v_{\sigma (q-q_{k}+1)},\dotsc ,v_{\sigma (q)}))}$

dónde${\displaystyle q=q_{1}+\ldots +q_{k}}$y${\displaystyle \varphi _{i}}$son${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-valorado${\displaystyle q_{i}}$-formas. Además, dado un espacio vectorial${\displaystyle V}$, la misma fórmula se puede utilizar para definir la${\displaystyle V}$forma valorada${\displaystyle f(\varphi ,\eta )}$cuando

${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\times V\to V}$

es un mapa multilineal ,${\displaystyle \varphi }$es un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$forma valorada y${\displaystyle \eta }$es un${\displaystyle V}$forma con valor. Tenga en cuenta que, cuando

${\displaystyle f([x,y],z)=f(x,f(y,z))-f(y,f(x,z)){,}\qquad (*)}$

donación${\displaystyle f}$equivale a dar una acción de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en${\displaystyle V}$; es decir,${\displaystyle f}$determina la representación

${\displaystyle \rho$ :{\mathfrak {g}}\to V,\rho (x)y=f(x,y)}

y, a la inversa, cualquier representación${\displaystyle \rho }$determina${\displaystyle f}$con la condición${\displaystyle (*)}$. Por ejemplo, si${\displaystyle f(x,y)=[x,y]}$(el corchete de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$), entonces recuperamos la definición de${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$dado arriba, con${\displaystyle \rho =\operatorname {ad} }$, la representación adjunta . (Nótese la relación entre${\displaystyle f}$y${\displaystyle \rho }$arriba es, por lo tanto, como la relación entre un corchete y${\displaystyle \operatorname {ad} }$.)

En general, si${\displaystyle \alpha }$es un${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$-valorado${\displaystyle p}$-forma y${\displaystyle \varphi }$es un${\displaystyle V}$-valorado${\displaystyle q}$-forma, entonces uno escribe más comúnmente${\displaystyle \alpha \cdot \varphi =f(\alpha ,\varphi )}$cuando${\displaystyle f(T,x)=Tx}$Explícitamente,

${\displaystyle (\alpha \cdot \phi )(v_{1},\dotsc ,v_{p+q})={1 \over (p+q)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\alpha (v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (p)})\phi (v_{\sigma (p+1)},\dotsc ,v_{\sigma (p+q)}).}$

Con esta notación, se tiene, por ejemplo:

${\displaystyle \operatorname {ad} (\alpha )\cdot \phi =[\alpha \wedge \phi ]}$.

Ejemplo: Si${\displaystyle \omega }$es un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-forma única valorada (por ejemplo, una forma de conexión ),${\displaystyle \rho }$una representación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en un espacio vectorial${\displaystyle V}$y${\displaystyle \varphi }$a${\displaystyle V}$forma cero con valor, entonces

${\displaystyle \rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \varphi =2\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \varphi ).}$^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle P}$ser un paquete principal fluido con grupo de estructura${\displaystyle G}$y${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$.${\displaystyle G}$actúa en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$mediante la representación adjunta y así se puede formar el haz asociado :

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}=P\times _{\operatorname {Ad} }{\mathfrak {g}}.}$

Cualquier${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$formas con valor en el espacio base de${\displaystyle P}$están en una correspondencia natural uno a uno con cualquier forma tensorial en${\displaystyle P}$de tipo adjunto.

• Forma Maurer-Cartan
• Paquete adjunto

• S. Kobayashi , K. Nomizu . Fundamentos de Geometría Diferencial (Wiley Classics Library) Volumen 1, 2.

• Producto cuña de álgebra de Lie de forma unitaria
• grupoide de formas con valores de álgebra de Lie en el n Lab