Constante cuadrada de hielo de Lieb

La constante de hielo cuadrada de Lieb es una constante matemática utilizada en el campo de la combinatoria para contar aproximadamente las orientaciones eulerianas de los grafos de cuadrícula . Fue introducida por Elliott H. Lieb en 1967. ^{[ 1 ]} Se denomina constante de hielo cuadrada porque las orientaciones que cuenta surgen en la mecánica estadística de estructuras cristalinas como los estados de un modelo de tipo hielo en una cuadrícula cuadrada.

El valor de la constante de hielo cuadrada de Lieb es$${\displaystyle {\frac {8{\sqrt {3}}}{9}}\approx 1.5396.}$$Sobre la base de esto, el número de orientaciones eulerianas de un${\displaystyle n\times n}$La cuadrícula es$${\displaystyle \left({\frac {8{\sqrt {3}}}{9}}-o(1)\right)^{n^{2}},}$$donde el${\displaystyle o(1)}$El término, una instancia de la notación o minúscula , oculta partes de la fórmula que tienden a cero en el límite cuando${\displaystyle n}$crece.

Un${\displaystyle n\times n}$El gráfico de cuadrícula tiene${\displaystyle n^{2}}$vértices. Cuando se construye con condiciones de contorno periódicas (con aristas que se envuelven de izquierda a derecha y de arriba a abajo) tiene${\displaystyle 2n^{2}}$Este grafo tiene cuatro aristas y es 4-regular , lo que significa que cada vértice tiene exactamente cuatro vecinos. Una orientación de este grafo consiste en asignar una dirección a cada arista. Se trata de una orientación euleriana si cada vértice recibe exactamente dos aristas entrantes y dos salientes. Una orientación euleriana se puede construir orientando cada fila de la cuadrícula (incluida la arista envolvente) como un ciclo, y cada columna como otro ciclo, pero existen muchas otras orientaciones que no tienen esta forma especial.

Denotemos el número de orientaciones eulerianas de este gráfico por${\displaystyle f(n)}$Entonces este número es aproximadamente exponencial en${\displaystyle n^{2}}$, con la constante de hielo cuadrada de Lieb como base de la exponencial. Más precisamente, $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n^{2}}]{f(n)}}=\left({\frac {4}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {8{\sqrt {3}}}{9}}=1.5396007\dots }$$ es la constante cuadrada del hielo de Lieb. ^{[ 2 ]} Lieb utilizó un método de matriz de transferencia para calcularla exactamente. ^{[ 1 ]}

El número exacto de orientaciones eulerianas de un${\displaystyle n\times n}$gráfico de cuadrícula, con condiciones de contorno periódicas, para${\displaystyle n=1,2,\dots }$, son ^{[ 3 ]}

La motivación original de Lieb para estudiar este problema de conteo proviene de la mecánica estadística . En este campo, los modelos de tipo hielo se utilizan para modelar los enlaces de hidrógeno en estructuras cristalinas como el hielo de agua, donde cada elemento de la estructura (como una molécula de agua) tiene enlaces que lo conectan con cuatro vecinos, con dos enlaces de cada polaridad . Un estado de este sistema describe la polaridad del enlace de hidrógeno para cada uno de los cuatro vecinos. Si los elementos y sus adyacencias se describen mediante los vértices y las aristas de un grafo no dirigido, las polaridades de sus enlaces se pueden describir orientando este grafo, con dos aristas de cada dirección en cada vértice. Con la suposición adicional de que todas las elecciones consistentes de orientación tienen la misma energía, el número de estados posibles es igual a la función de partición , importante para calcular las propiedades de un sistema en equilibrio termodinámico . Diferentes estructuras cristalinas tienen diferentes funciones de partición; el valor calculado por Lieb es para un modelo irrealista en el que las moléculas de agua u otros elementos están dispuestos en una cuadrícula cuadrada. ^{[ 1 ]} Al igual que para los enlaces de hidrógeno, en el hielo de espín pueden ocurrir disposiciones análogas de elementos con cuatro vecinos, que obedecen las mismas reglas de dos dentro y dos fuera, y en ese caso se aplica el mismo cálculo de la función de partición.

La función${\displaystyle f(n)}$También cuenta el número de 3-coloraciones de grafos de cuadrícula, el número de 3-flujos sin cero en ningún lugar en grafos de cuadrícula y el número de plegamientos planos locales del pliegue de Miura . ^{[ 4 ]}