Modelo de Lieb-Liniger

En física , el modelo de Lieb-Liniger describe un gas de partículas que se mueven en una dimensión y satisfacen las estadísticas de Bose-Einstein . Más específicamente, describe un gas de Bose unidimensional con interacciones delta de Dirac . El nombre de t se debe a Elliott H. Lieb y Werner Liniger  [de], quienes introdujeron el modelo en 1963. ^[1] El modelo fue desarrollado para comparar y probar la teoría de Nikolay Bogolyubov de un gas de Bose con interacción débil. ^[2]

Dados bosones que se mueven en una dimensión sobre el eje definido a partir de con condiciones de contorno periódicas , un estado del sistema de N cuerpos debe describirse mediante una función de onda de muchos cuerpos . El hamiltoniano de este modelo se introduce como ${\estilo de visualización N}$ ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización [0,L]}$ ${\displaystyle \psi(x_{1},x_{2},\puntos ,x_{j},\puntos ,x_{N})}$

${\displaystyle H=-\suma _{i=1}^{N}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial x_{i}^{2}}}+2c\suma _{i=1}^{N}\suma _{j>i}^{N}\delta (x_{i}-x_{j})\ ,}$

donde es la función delta de Dirac . La constante denota la fuerza de la interacción, representa una interacción repulsiva y una interacción atractiva. ^[3] El límite del núcleo duro se conoce como el gas de Tonks-Girardeau . ^[3]${\estilo de visualización \delta}$${\estilo de visualización c}$${\displaystyle c>0}$${\estilo de visualización c<0}$${\displaystyle c\to \infty}$

Para una colección de bosones, la función de onda no cambia bajo la permutación de dos partículas cualesquiera (simetría de permutación), es decir, para todos y satisface para todos . ${\displaystyle \psi (\puntos ,x_{i},\puntos ,x_{j},\puntos )=\psi (\puntos ,x_{j},\puntos ,x_{i},\puntos )}$${\displaystyle i\neq j}$${\estilo de visualización \psi}$${\displaystyle \psi (\puntos ,x_{j}=0,\puntos )=\psi (\puntos ,x_{j}=L,\puntos )}$${\estilo de visualización j}$

La función delta en el hamiltoniano da lugar a una condición de contorno cuando dos coordenadas, digamos y son iguales; esta condición es que cuando , la derivada satisface $estilo de visualización x_{1}}$$estilo de visualización x_{2}$${\displaystyle x_{2}\searrow x_{1}}$

${\displaystyle \left.\left({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)\psi (x_{1},x_{2})\right|_{x_{2}=x_{1}+}=c\psi (x_{1}=x_{2})}$.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se resuelve mediante la construcción explícita de . Puesto que es simétrica, está completamente determinada por sus valores en el símplex , definido por la condición de que . ${\displaystyle H\psi =E\psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle 0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \dots ,\leq x_{N}\leq L}$

La solución se puede escribir en forma de ansatz de Bethe como ^[2]

${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{P}a(P)\exp \left(i\sum _{j=1}^{N}k_{Pj}x_{j}\right)}$,

con vectores de onda , donde la suma es sobre todas las permutaciones, , de los números enteros , y se asigna a . Los coeficientes , así como los de están determinados por la condición , y esto conduce a una energía total ${\displaystyle 0\leq k_{1}\leq k_{2}\leq \dots ,\leq k_{N}}$${\displaystyle N!}$${\displaystyle P}$${\displaystyle 1,2,\dots ,N}$${\displaystyle P}$${\displaystyle 1,2,\dots ,N}$${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots ,P_{N}}$${\displaystyle a(P)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H\psi =E\psi }$

${\displaystyle E=\sum _{j=1}^{N}\,k_{j}^{2}}$,

con las amplitudes dadas por

${\displaystyle a(P)=\prod _{1\leq i<j\leq N}\left(1+{\frac {ic}{k_{Pi}-k_{Pj}}}\right)\,.}$^[4]

Estas ecuaciones determinan en términos de . Estas conducen a las ecuaciones: ^[2]${\displaystyle \psi }$${\displaystyle k}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle L\,k_{j}=2\pi I_{j}\ -2\sum _{i=1}^{N}\arctan \left({\frac {k_{j}-k_{i}}{c}}\right)\qquad \qquad {\text{for }}j=1,\,\dots ,\,N\ ,}$

donde son números enteros cuando es impar y cuando es par, toman valores . Para el estado fundamental, los de satisfacen ${\displaystyle I_{1}<I_{2}<\cdots <I_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\dots }$${\displaystyle I}$

${\displaystyle I_{j+1}-I_{j}=1,\quad {\rm {for}}\ 1\leq j<N\qquad {\text{and }}I_{1}=-I_{N}.}$