Decaimiento exponencial

Si la cantidad decreciente, N ( t ), es el número de elementos discretos en un conjunto determinado , es posible calcular la duración promedio del tiempo que un elemento permanece en el conjunto. Esto se denomina vida media (o simplemente vida media ), donde la constante de tiempo exponencial ,${\displaystyle \tau }$, se relaciona con la constante de velocidad de decaimiento, λ , de la siguiente manera:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}.}$

La vida media puede considerarse como un "tiempo de escala", porque la ecuación de decaimiento exponencial puede escribirse en términos de la vida media,${\displaystyle \tau }$, en lugar de la constante de desintegración, λ :

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau },}$

y eso${\displaystyle \tau }$es el momento en el que la población del conjunto se reduce a 1 ⁄ e ≈ 0,367879441 veces su valor inicial. Esto es equivalente a${\displaystyle \log _{2}{e}}$≈ 1,442695 vidas medias.

Por ejemplo, si la población inicial del conjunto, N (0), es 1000, entonces la población en el tiempo${\displaystyle \tau }$,${\displaystyle N(\tau )}$, es 368.

Una ecuación muy similar se verá más adelante, la cual surge cuando la base de la exponencial se elige como 2, en lugar de e . En ese caso, el tiempo de escala es la "vida media".

Una característica más intuitiva del decaimiento exponencial para muchas personas es el tiempo necesario para que la cantidad decreciente se reduzca a la mitad de su valor inicial. (Si N ( t ) es discreta, entonces este es el tiempo de vida mediano en lugar del tiempo de vida medio). Este tiempo se denomina vida media y a menudo se denota con el símbolo t¹ _/² . El tiempo de vida media se puede escribir en términos de la constante de decaimiento, o vida media, como:

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2).}$

Cuando se inserta esta expresión para${\displaystyle \tau }$En la ecuación exponencial anterior, y si ln  2 se absorbe en la base, esta ecuación se convierte en:

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.}$

Por lo tanto, la cantidad de material restante es 2 ⁻¹  =  1/2 elevado al número (entero o fraccionario) de vidas medias transcurridas. Así, después de 3 vidas medias quedará 1/2 ³  =  1/8 del material original.

Por lo tanto, la vida media${\displaystyle \tau }$es igual a la vida media dividida por el logaritmo natural de 2, o:

${\displaystyle \tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln(2)}}\approx 1.4427\cdot t_{1/2}.}$

Por ejemplo, el polonio-210 tiene una vida media de 138 días y una vida útil promedio de 200 días.

Dado un conjunto de elementos, cuyo número disminuye finalmente a cero, la vida media ,${\displaystyle \tau }$La vida útil (también llamada simplemente tiempo de vida ) es el valor esperado del tiempo que transcurre antes de que un objeto sea retirado del conjunto. Específicamente, si la vida útil individual de un elemento del conjunto es el tiempo transcurrido entre un momento de referencia y la eliminación de dicho elemento, la vida útil media es la media aritmética de las vidas útiles individuales.

Partiendo de la fórmula de población

${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},\,}$

Primero, sea c el factor de normalización para convertirlo en una función de densidad de probabilidad :

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}$

o, al reorganizar,

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}.}$

El decaimiento exponencial es un múltiplo escalar de la distribución exponencial (es decir, la vida útil individual de cada objeto se distribuye exponencialmente), que tiene un valor esperado bien conocido . Podemos calcularlo aquí usando integración por partes .

${\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

Una cantidad puede decaer mediante dos o más procesos diferentes simultáneamente. En general, estos procesos (a menudo denominados "modos de decaimiento", "canales de decaimiento", "rutas de decaimiento", etc.) tienen diferentes probabilidades de ocurrir y, por lo tanto, ocurren a diferentes velocidades con diferentes vidas medias, en paralelo. La tasa de decaimiento total de la cantidad N viene dada por la suma de las rutas de decaimiento; así, en el caso de dos procesos: 

${\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.}$

La solución de esta ecuación se da en la sección anterior, donde la suma de${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\,}$se trata como una nueva constante de desintegración total${\displaystyle \lambda _{c}}$.

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.}$

La vida media parcial asociada a los procesos individuales es, por definición, el inverso multiplicativo de la constante de desintegración parcial correspondiente:${\displaystyle \tau =1/\lambda }$. Una combinación${\displaystyle \tau _{c}}$se puede dar en términos de${\displaystyle \lambda }$s:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.}$

Esta es la media armónica de${\displaystyle \tau _{1}}$y${\displaystyle \tau _{2}}$Dado que las vidas medias difieren de la vida media${\displaystyle \tau }$Por un factor constante, la misma ecuación se mantiene en términos de las dos vidas medias correspondientes:

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}}$

dónde${\displaystyle T_{1/2}}$es la vida media combinada o total del proceso,${\displaystyle t_{1}}$y${\displaystyle t_{2}}$Se denominan semividas parciales a los procesos correspondientes. Los términos "semivida parcial" y "vida media parcial" denotan cantidades derivadas de una constante de desintegración como si el modo de desintegración dado fuera el único modo de desintegración para dicha cantidad. El término "semivida parcial" es engañoso, ya que no puede medirse como un intervalo de tiempo durante el cual una determinada cantidad se reduce a la mitad .

En términos de constantes de desintegración separadas, la vida media total${\displaystyle T_{1/2}}$se puede demostrar que es

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

Para una desintegración mediante tres procesos exponenciales simultáneos, la vida media total se puede calcular como se indicó anteriormente:

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}.}$

En ciencia nuclear y farmacocinética , el agente de interés puede estar situado en una cadena de desintegración, donde la acumulación está regida por la desintegración exponencial de un agente fuente, mientras que el propio agente de interés se desintegra mediante un proceso exponencial.

Estos sistemas se resuelven utilizando la ecuación de Bateman .

En el ámbito de la farmacología, algunas sustancias ingeridas podrían ser absorbidas por el organismo mediante un proceso que se puede modelar razonablemente como una disminución exponencial, o podrían estar formuladas deliberadamente para tener ese perfil de liberación.

• Reacciones químicas : La velocidad de ciertos tipos de reacciones químicas depende de la concentración de uno u otro reactivo . Las reacciones cuya velocidad depende únicamente de la concentración de un reactivo (conocidas como reacciones de primer orden ) presentan, por consiguiente, una disminución exponencial. Por ejemplo, muchasreacciones catalizadas por enzimas se comportan de esta manera.
• Electrostática : En un circuito RC , la carga eléctrica (o, equivalentemente, el potencial ) contenida en un condensador (capacitancia C ) se descarga a través de una carga externa constante(resistencia R ) con decaimiento exponencial y, de forma similar, se carga con el inverso del decaimiento exponencial (cuando el condensador se carga desde una fuente de voltaje constante a través de una resistencia constante). La constante de tiempo exponencial para el proceso es${\displaystyle \tau =R\,C,}$por lo tanto la vida media es${\displaystyle R\,C\,\ln(2).}$Las mismas ecuaciones se pueden aplicar al dual de la corriente en un inductor.
  • Además, el caso particular de un condensador o inductor que cambia a través de varias resistencias en paralelo constituye un ejemplo interesante de múltiples procesos de decaimiento, donde cada resistencia representa un proceso independiente. De hecho, la expresión para la resistencia equivalente de dos resistencias en paralelo refleja la ecuación para la vida media con dos procesos de decaimiento.
• Geofísica : La presión atmosférica disminuye aproximadamente de forma exponencial con el aumento de la altura sobre el nivel del mar, a una tasa de aproximadamente el 12% por cada 1000 m.
• Transferencia de calor : Si un objeto a una temperatura se expone a un medio a otra temperatura, la diferencia de temperatura entre el objeto y el medio disminuye exponencialmente (en el límite de procesos lentos; equivalente a una buena conducción de calor dentro del objeto, de modo que su temperatura permanece relativamente uniforme en todo su volumen). Véase también la ley de enfriamiento de Newton .
• Luminiscencia : Tras la excitación, la intensidad de emisión —que es proporcional al número de átomos o moléculas excitadas— de un material luminiscente disminuye exponencialmente. Dependiendo del número de mecanismos implicados, la disminución puede ser monoexponencial o multiexponencial.
• Farmacología y toxicología : Se ha observado que muchas sustancias administradas se distribuyen y metabolizan (véase depuración ) según patrones de decaimiento exponencial. Las semividas biológicas «semivida alfa» y «semivida beta» de una sustancia miden la rapidez con la que esta se distribuye y se elimina.
• Óptica física : La intensidad de la radiación electromagnética, como la luz, los rayos X o los rayos gamma, en un medio absorbente disminuye exponencialmente con la distancia a través de dicho medio. Esto se conoce como laley de Beer-Lambert .
• Radiactividad : En una muestra de un radionúclido que sufre desintegración radiactiva a un estado diferente, el número de átomos en el estado original disminuye exponencialmente mientras el número restante de átomos sea elevado. El producto de la desintegración se denomina nucleido radiogénico .
• Termoelectricidad : Disminución de la resistencia de un termistor con coeficiente de temperatura negativo a medida que aumenta la temperatura.
• Vibraciones : Algunas vibraciones pueden atenuarse exponencialmente; esta característica se encuentra a menudo en osciladores mecánicos amortiguados y se utiliza para crear envolventes ADSR en sintetizadores . Un sistema sobreamortiguado simplemente volverá al equilibrio mediante una atenuación exponencial.
• Espuma de cerveza: Arnd Leike, de la LMU de Múnich , ganó un premio Ig Nobel por demostrar que la espuma de la cerveza obedece la ley de decaimiento exponencial. ^{[ 4 ]}
• El frenado de un automóvil es un ejemplo universal de decaimiento exponencial, y la variación de las exponenciales y funciones matemáticas que aplica el pie es importante para la comodidad de los ocupantes y la prevención de accidentes.

• Finanzas : un fondo de jubilación disminuye exponencialmente debido a pagos discretos, generalmente mensuales, y a una entrada sujeta a una tasa de interés continua. Se puede escribir y resolver una ecuación diferencial dA/dt = entrada − salida para calcular el tiempo necesario para alcanzar cualquier cantidad A que quede en el fondo.
• En la glotocronología simple , la suposición (discutible) de una tasa de decaimiento constante en las lenguas permite estimar la antigüedad de lenguas individuales. (Para calcular el tiempo de divergencia entre dos lenguas se requieren suposiciones adicionales, independientes del decaimiento exponencial).

• El protocolo de enrutamiento principal de Internet , BGP , debe mantener una tabla de enrutamiento para recordar las rutas por las que se puede desviar un paquete . Cuando una de estas rutas cambia repetidamente de estado (de disponible a no disponible y viceversa ), el enrutador BGP que controla esa ruta tiene que añadir y eliminar repetidamente el registro de la ruta de su tabla de enrutamiento ( lo que provoca fluctuaciones en la ruta), consumiendo así recursos locales como la CPU y la RAM , e incluso transmitiendo información innecesaria a los enrutadores pares. Para evitar este comportamiento indeseado, un algoritmo llamado amortiguación de fluctuaciones de ruta asigna a cada ruta un peso que aumenta cada vez que la ruta cambia de estado y disminuye exponencialmente con el tiempo. Cuando el peso alcanza un cierto límite, no se producen más fluctuaciones, suprimiendo así la ruta.

Gráficos que comparan los tiempos de duplicación y las vidas medias de los crecimientos exponenciales (líneas gruesas) y la decrecimiento (líneas finas), y sus aproximaciones 70/ t y 72/ t . En la versión SVG , coloque el cursor sobre un gráfico para resaltarlo junto con su complemento.