Lema de elevación del exponente

El caso base${\displaystyle \nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}(xy)}$cuando${\displaystyle p\nmid n}$Se demuestra primero. Porque${\displaystyle p\mid xy\iff x\equiv y{\pmod {p}}}$,

El hecho de que${\displaystyle x^{n}-y^{n}=(xy)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+\dots +y^{n-1})}$completa la prueba. La condición${\displaystyle \nu _{p}(x^{n}+y^{n})=\nu _{p}(x+y)}$para impar${\displaystyle n}$es similar, donde observamos que la demostración anterior se cumple para los números enteros.${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$y por lo tanto podemos sustituir${\displaystyle -y}$para${\displaystyle y}$arriba para obtener el resultado deseado.

Mediante la expansión binomial , la sustitución${\displaystyle y=x+kp}$puede usarse en ( 1 ) para demostrar que${\displaystyle \nu _{p}(x^{p}-y^{p})=\nu _{p}(xy)+1}$porque la cantidad en ( 1 ) es un múltiplo de${\displaystyle p}$pero no${\displaystyle p^{2}}$. ^{[ 3 ]} Asimismo,${\displaystyle \nu _{p}(x^{p}+y^{p})=\nu _{p}(x+y)+1}$.

Entonces, si${\displaystyle n}$se escribe como${\displaystyle p^{a}b}$dónde${\displaystyle p\nmid b}$, el caso base da${\displaystyle \nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}((x^{p^{a}})^{b}-(y^{p^{a}})^{b})=\nu _{p}(x^{p^{a}}-y^{p^{a}})}$Por inducción en${\displaystyle a}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(x^{p^{a}}-y^{p^{a}})&=\nu _{p}(((\dots (x^{p})^{p}\dots ))^{p}-((\dots (y^{p})^{p}\dots ))^{p})\ {\text{(exponenciación utilizada }}a{\text{ veces por término)}}\\&=\nu _{p}(xy)+a\end{aligned}}}$

Se puede aplicar un argumento similar para${\displaystyle \nu _{p}(x^{n}+y^{n})}$.

La prueba de lo impar${\displaystyle p}$El caso no se puede aplicar directamente cuando${\displaystyle p=2}$porque el coeficiente binomial${\displaystyle {\binom {p}{2}}={\frac {p(p-1)}{2}}}$es solo un múltiplo entero de${\displaystyle p}$cuando${\displaystyle p}$es extraño.

Sin embargo, se puede demostrar que${\displaystyle \nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(xy)+\nu _{2}(n)}$cuando${\displaystyle 4\mid xy}$escribiendo${\displaystyle n=2^{a}b}$dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son números enteros con${\displaystyle b}$extraño y notando que

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{2}(x^{n}-y^{n})&=\nu _{2}((x^{2^{a}})^{b}-(y^{2^{a}})^{b})\\&=\nu _{2}(x^{2^{a}}-y^{2^{a}})\\&=\nu _{2}((x^{2^{a-1}}+y^{2^{a-1}})(x^{2^{a-2}}+y^{2^{a-2}})\cdots (x^{2}+y^{2})(x+y)(xy))\\&=\nu _{2}(xy)+a\end{aligned}}}$

porque${\displaystyle x\equiv y\equiv \pm 1{\pmod {4}}}$implica que cada factor de la forma${\displaystyle x^{2^{k}}+y^{2^{k}}}$en el paso de diferencia de cuadrados es congruente con 2 módulo 4.

La afirmación más contundente${\displaystyle \nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(xy)+\nu _{2}(x+y)+\nu _{2}(n)-1}$cuando${\displaystyle 2\mid xy}$se demuestra de forma análoga. ^{[ 3 ]}

Tenga en cuenta que${\displaystyle 149-2=147=3\cdot 7^{2}}$.

Utilizando el lema de elevación del exponente, dado que${\displaystyle 3\nmid 149}$y${\displaystyle 3\nmid 2}$, pero${\displaystyle 3\mid 147}$,${\displaystyle \nu _{3}(149^{n}-2^{n})=\nu _{3}(147)+\nu _{3}(n)=\nu _{3}(n)+1}$. De este modo,${\displaystyle 3^{3}\mid 149^{n}-2^{n}\iff 3^{2}\mid n}$.

Similarmente,${\displaystyle 7\nmid 149,2}$pero${\displaystyle 7\mid 147}$, entonces${\displaystyle \nu _{7}(149^{n}-2^{n})=\nu _{7}(147)+\nu _{7}(n)=\nu _{7}(n)+2}$y${\displaystyle 7^{7}\mid 149^{n}-2^{n}\iff 7^{5}\mid n}$.

Desde${\displaystyle 5\nmid 147}$, los factores de 5 se abordan al notar que dado que los residuos de${\displaystyle 149^{n}}$módulo 5 sigue el ciclo${\displaystyle 4,1,4,1}$y los de${\displaystyle 2^{n}}$seguir el ciclo${\displaystyle 2,4,3,1}$, los residuos de${\displaystyle 149^{n}-2^{n}}$módulo 5 ciclo a través de la secuencia${\displaystyle 2,2,1,0}$. De este modo,${\displaystyle 5\mid 149^{n}-2^{n}}$si y solo si${\displaystyle n=4k}$para algún entero positivo${\displaystyle k}$El lema puede aplicarse de nuevo:${\displaystyle \nu _{5}(149^{4k}-2^{4k})=\nu _{5}((149^{4})^{k}-(2^{4})^{k})=\nu _{5}(149^{4}-2^{4})+\nu _{5}(k)}$. Desde${\displaystyle 149^{4}-2^{4}\equiv (-1)^{4}-2^{4}\equiv -15{\pmod {25}}}$,${\displaystyle \nu _{5}(149^{4}-2^{4})=1}$. Por eso${\displaystyle 5^{5}\mid 149^{n}-2^{n}\iff 5^{4}\mid k\iff 4\cdot 5^{4}\mid n}$.

Combinando estos tres resultados, se encuentra que${\displaystyle n=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{4}\cdot 7^{5}}$, que tiene${\displaystyle (2+1)(2+1)(4+1)(5+1)=270}$divisores positivos.