Estadísticas de verosimilitud

La estadística de máxima verosimilitud, o verosimilitudismo, es un enfoque estadístico que utiliza exclusiva o principalmente la función de verosimilitud . Si bien es una escuela menos conocida que las principales, como la estadística bayesiana y la frecuentista , cuenta con algunos seguidores y aplicaciones. La idea central del verosimilitudismo es el principio de verosimilitud : los datos se interpretan como evidencia , y la fuerza de esta se mide mediante la función de verosimilitud. Sin embargo, existen diferencias significativas entre los distintos enfoques de verosimilitud: los verosimilitudes "ortodoxos" consideran los datos únicamente como evidencia y no los utilizan como base para la inferencia estadística , mientras que otros realizan inferencias basadas en la verosimilitud, pero sin recurrir a la inferencia bayesiana ni a la frecuentista . Por lo tanto, el verosimilitudismo es criticado por no proporcionar una base para la creencia o la acción (si no logra realizar inferencias) o por no satisfacer los requisitos de estas otras escuelas.

La función de verosimilitud también se utiliza en la estadística bayesiana y en la estadística frecuentista, pero difieren en su uso. Algunos defensores de la verosimilitud consideran su uso como una alternativa a otros enfoques, mientras que otros lo consideran complementario y compatible con ellos; véase §  Relación con otras teorías .

Si bien el probabilismo es un enfoque distinto de la inferencia estadística, puede relacionarse o contrastarse con otras teorías y metodologías estadísticas. A continuación, se presentan algunas conexiones destacadas:

1. Estadística bayesiana: La estadística bayesiana es un enfoque alternativo para la inferencia estadística que incorpora información previa y la actualiza utilizando datos observados para obtener probabilidades posteriores. El método de máxima verosimilitud y la estadística bayesiana son compatibles en el sentido de que ambos utilizan la función de verosimilitud. Sin embargo, difieren en el tratamiento de la información previa. La estadística bayesiana incorpora explícitamente las creencias previas en el análisis, mientras que el método de máxima verosimilitud se centra únicamente en la función de verosimilitud sin especificar una distribución previa.
2. Estadística frecuentista: La estadística frecuentista, también conocida como inferencia clásica o frecuentista, es otro marco importante para el análisis estadístico. Los métodos frecuentistas enfatizan las propiedades del muestreo repetido y se centran en conceptos como la imparcialidad, la consistencia y la prueba de hipótesis. El enfoque de máxima verosimilitud puede considerarse una desviación de los métodos frecuentistas tradicionales, ya que sitúa la función de verosimilitud en el centro de la inferencia estadística. Los métodos basados ​​en la verosimilitud sirven de puente entre la perspectiva de máxima verosimilitud y los enfoques frecuentistas al utilizar razones de verosimilitud para la prueba de hipótesis y la construcción de intervalos de confianza.
3. Estadística fisheriana : El verosimilitudismo tiene profundas conexiones con la filosofía estadística de Ronald Fisher . ^{[ 1 ]} Fisher introdujo el concepto de verosimilitud y su maximización como criterio para estimar parámetros. El enfoque de Fisher enfatizó el concepto de suficiencia y la estimación de máxima verosimilitud (EMV). El verosimilitudismo puede considerarse una extensión de la estadística fisheriana, que refina y amplía el uso de la verosimilitud en la inferencia estadística.
4. Teoría de la información : Desarrollada por Claude Shannon , la teoría de la información proporciona un marco matemático para cuantificar el contenido y la comunicación de la información. El concepto de entropía en la teoría de la información está relacionado con la función de verosimilitud y el criterio AIC. El criterio AIC, que incorpora un término de penalización por la complejidad del modelo, puede considerarse un enfoque teórico de la información para la selección de modelos , ya que equilibra el ajuste del modelo con su complejidad.
5. Teoría de la decisión : La teoría de la decisión combina la inferencia estadística con la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. Considera el equilibrio entre riesgos y pérdidas potenciales en los procesos de toma de decisiones. El análisis de verosimilitud puede integrarse con la teoría de la decisión para tomar decisiones basadas en la función de verosimilitud, como elegir el modelo con la mayor verosimilitud o evaluar diferentes opciones de decisión en función de sus verosimilitudes asociadas.

Si bien las estadísticas basadas en la verosimilitud se han utilizado ampliamente y presentan muchas ventajas, no están exentas de críticas. A continuación, se presentan algunas críticas comunes a las estadísticas basadas en la verosimilitud:

1. Dependencia del modelo: La inferencia basada en la verosimilitud depende en gran medida de la elección de un modelo estadístico específico. ^{[ 2 ]} Si el modelo elegido no representa con precisión el verdadero proceso subyacente de generación de datos, las estimaciones e inferencias resultantes pueden estar sesgadas o ser engañosas. Una especificación incorrecta del modelo puede llevar a conclusiones erróneas, especialmente en escenarios complejos del mundo real donde el modelo verdadero puede ser desconocido o difícil de capturar.
2. Dificultad de interpretación: Las estadísticas basadas en la verosimilitud se centran en optimizar la función de verosimilitud para estimar parámetros, pero pueden no proporcionar estimaciones intuitivas o fácilmente interpretables. Los parámetros estimados pueden carecer de una interpretación directa y significativa en el contexto del problema estudiado. Esto puede dificultar que los profesionales comuniquen los resultados a un público no técnico o tomen decisiones prácticas basadas en las estimaciones.
3. Sensibilidad al tamaño de la muestra : Los métodos basados ​​en la verosimilitud pueden ser sensibles al tamaño de la muestra. En situaciones con muestras pequeñas, la función de verosimilitud puede ser muy variable, lo que genera estimaciones inestables. Esta inestabilidad también puede afectar el proceso de selección del modelo, ya que la prueba de razón de verosimilitud o los criterios de información pueden no funcionar bien cuando las muestras son pequeñas.
4. Supuesto de independencia: La inferencia basada en la verosimilitud suele asumir que los datos observados son independientes e idénticamente distribuidos (IID). Sin embargo, en muchos escenarios reales, los puntos de datos pueden presentar dependencia o correlación. Ignorar esta dependencia puede dar lugar a estimaciones sesgadas o a pruebas de hipótesis inexactas.
5. Falta de robustez: Los métodos basados ​​en la verosimilitud no siempre son robustos ante violaciones de los supuestos del modelo o valores atípicos en los datos. Si los datos se desvían de la distribución supuesta o si existen observaciones extremas, las estimaciones pueden verse fuertemente influenciadas por estos valores atípicos, lo que conduce a resultados poco fiables.
6. Complejidad computacional: La estimación de parámetros basada en funciones de verosimilitud puede ser computacionalmente intensiva, especialmente para modelos complejos, grandes conjuntos de datos o sistemas altamente no lineales. ^{[ 3 ]} Los algoritmos de optimización utilizados para maximizar la función de verosimilitud pueden requerir recursos computacionales sustanciales o no converger al máximo global, lo que da lugar a estimaciones subóptimas.
7. Falta de cuantificación de la incertidumbre : La inferencia basada en la verosimilitud suele proporcionar estimaciones puntuales de los parámetros sin una cuantificación explícita de la incertidumbre. Si bien se pueden utilizar técnicas como los intervalos de confianza o los errores estándar para aproximar la incertidumbre, estas se basan en supuestos que no siempre se cumplen. Los métodos bayesianos, por otro lado, proporcionan un marco más formal y coherente para la cuantificación de la incertidumbre.

La teoría de la verosimilitud como escuela independiente se remonta a Edwards (1972) , quien ofrece un tratamiento sistemático de la estadística basado en la verosimilitud. Este trabajo se fundamentó en investigaciones previas significativas; véase Dempster (1972) para una revisión contemporánea.

Si bien la comparación de razones de probabilidad se remonta a los inicios de la estadística y la probabilidad, en particular a la inferencia bayesiana desarrollada por Pierre-Simon Laplace a finales del siglo XVIII, la verosimilitud como concepto independiente se debe a Ronald Fisher en Fisher (1921) . La verosimilitud desempeñó un papel importante en la estadística de Fisher, pero también desarrolló y utilizó numerosas técnicas frecuentistas que no se basaban en la verosimilitud. Sus últimos escritos, especialmente Fisher (1955) , enfatizan aún más la verosimilitud y pueden considerarse precursores de una teoría sistemática del verosimilitudismo.

El principio de verosimilitud fue propuesto en 1962 por varios autores, entre los que destacan Barnard, Jenkins y Winsten (1962) , Birnbaum (1962) y Savage (1962) , y posteriormente por la ley de verosimilitud de Hacking (1965) ; estos sentaron las bases del verosimilitudismo. Véase Principio de verosimilitud §  Historia para conocer su historia temprana.

Mientras que la versión de Edwards del verosimilitud consideraba la verosimilitud como única evidencia, lo cual fue seguido por Royall (1997) , otros propusieron inferencia basada únicamente en la verosimilitud, en particular como extensiones de la estimación de máxima verosimilitud. Cabe destacar a John Nelder , quien declaró en Nelder (1999 , p. 264) : 

Al menos una vez al año escucho a alguien en una reunión decir que existen dos modos de inferencia: frecuentista y bayesiano. Que este tipo de disparate se propague con tanta frecuencia demuestra lo mucho que aún nos queda por hacer. Para empezar, existe una floreciente escuela de inferencia basada en la verosimilitud, a la que pertenezco.

Entre los libros de texto que adoptan un enfoque probabilístico se incluyen los siguientes: Kalbfleisch (1985) , Azzalini (1996) , Pawitan (2001) , Rohde (2014) y Held y Sabanés Bové (2014) . Taper y Lele (2004) ofrecen una recopilación de artículos relevantes .

• criterio de información de Akaike
• Fundamentos de estadística
• Prueba de razón de verosimilitud

• "Razones de verosimilitud, verosimilitudismo y la ley de verosimilitud" . Enciclopedia de filosofía de Stanford . Consultado el 14 de marzo de 2019 .