Ciclo límite

En matemáticas , en el estudio de sistemas dinámicos con espacio de fases bidimensional , un ciclo límite es una trayectoria cerrada en el espacio de fases que posee la propiedad de que al menos otra trayectoria converge en ella, ya sea cuando el tiempo tiende a infinito o a menos infinito. Este comportamiento se observa en algunos sistemas no lineales . Los ciclos límite se han utilizado para modelar el comportamiento de muchos sistemas oscilatorios del mundo real. El estudio de los ciclos límite fue iniciado por Henri Poincaré (1854-1912).

Consideramos un sistema dinámico bidimensional de la forma $${\displaystyle x'(t)=V(x(t))}$$ dónde $${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$$ es una función suave. Una trayectoria de este sistema es alguna función suave.${\displaystyle x(t)}$con valores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$que satisface esta ecuación diferencial. Dicha trayectoria se denomina cerrada (o periódica ) si no es constante pero regresa a su punto de partida, es decir, si existe alguna${\displaystyle t_{0}>0}$de tal manera que${\displaystyle x(t+t_{0})=x(t)}$a pesar de${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Una órbita es la imagen de una trayectoria, un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$Una órbita cerrada , o ciclo , es la imagen de una trayectoria cerrada. Un ciclo límite es un ciclo que es el conjunto límite de alguna otra trayectoria.

Según el teorema de la curva de Jordan , toda trayectoria cerrada divide el plano en dos regiones: el interior y el exterior de la curva.

Dado un ciclo límite y una trayectoria en su interior que se aproxima al ciclo límite para un tiempo que se aproxima${\displaystyle +\infty }$, entonces existe un vecindario alrededor del ciclo límite tal que todas las trayectorias en el interior que comienzan en el vecindario se aproximan al ciclo límite para tiempos que se aproximan${\displaystyle +\infty }$La afirmación correspondiente se cumple para una trayectoria en el interior que se aproxima al ciclo límite para un tiempo que se aproxima a${\displaystyle -\infty }$y también para trayectorias en el exterior que se aproximan al ciclo límite.

En el caso de que todas las trayectorias vecinas se aproximen al ciclo límite cuando el tiempo tiende a infinito, se denomina ciclo límite estable o atractivo (ciclo límite ω). Si, por el contrario, todas las trayectorias vecinas se aproximan a él cuando el tiempo tiende a menos infinito, entonces se trata de un ciclo límite inestable (ciclo límite α). Si existe una trayectoria vecina que entra en espiral dentro del ciclo límite cuando el tiempo tiende a infinito, y otra que entra en espiral dentro de él cuando el tiempo tiende a menos infinito, entonces se trata de un ciclo límite semiestable . También existen ciclos límite que no son ni estables, ni inestables, ni semiestables: por ejemplo, una trayectoria vecina puede aproximarse al ciclo límite desde el exterior, pero el interior del ciclo límite es alcanzado por una familia de otros ciclos (que no serían ciclos límite).

Los ciclos límite estables son ejemplos de atractores . Implican oscilaciones autosostenidas : la trayectoria cerrada describe el comportamiento periódico perfecto del sistema, y ​​cualquier pequeña perturbación de esta trayectoria cerrada hace que el sistema regrese a ella, manteniéndose así dentro del ciclo límite.

Cada trayectoria cerrada contiene en su interior un punto estacionario del sistema, es decir, un punto${\displaystyle p}$dónde${\displaystyle V'(p)=0}$El teorema de Bendixson-Dulac y el teorema de Poincaré-Bendixson predicen la ausencia o existencia, respectivamente, de ciclos límite de sistemas dinámicos no lineales bidimensionales.

Encontrar ciclos límite, en general, es un problema muy difícil. El número de ciclos límite de una ecuación diferencial polinómica en el plano es el objeto principal de la segunda parte del decimosexto problema de Hilbert . Se desconoce, por ejemplo, si existe algún sistema${\displaystyle x'=V(x)}$en el plano donde ambos componentes de${\displaystyle V}$son polinomios cuadráticos de las dos variables, de tal manera que el sistema tiene más de 4 ciclos límite.

Los ciclos límite son importantes en muchas aplicaciones científicas donde se modelan sistemas con oscilaciones autosostenidas. Algunos ejemplos incluyen:

• Oscilaciones aerodinámicas de ciclo límite ^{[ 1 ]}
• El modelo de Hodgkin-Huxley para los potenciales de acción en las neuronas .
• El modelo de Sel'kov de la glucólisis . ^{[ 2 ]}
• Las oscilaciones diarias en la expresión genética, los niveles hormonales y la temperatura corporal de los animales, que forman parte del ritmo circadiano , ^{[ 3 ] [ 4 ]} aunque esto se contradice con evidencia más reciente. ^{[ 5 ]}
• La migración de células cancerosas en microambientes confinados sigue oscilaciones de ciclo límite. ^{[ 6 ]}
• Algunos circuitos eléctricos no lineales exhiben oscilaciones de ciclo límite, ^{[ 7 ]} que inspiraron el modelo original de Van der Pol .
• El control de la respiración y la hematopoyesis, tal como aparece en las ecuaciones de Mackey-Glass . ^{[ 8 ]}

• Atractor
• conjunto hiperbólico
• Punto periódico
• Autooscilación
• colector estable
• Reducción de fase

• Steven H. Strogatz (2014). Dinámica no lineal y caos: aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería . Avalon. ISBN 9780813349114.
• M. Vidyasagar (2002). Análisis de sistemas no lineales (Segunda  edición). SIAM. ISBN 9780898715262.
• Philip Hartman, "Ecuación diferencial ordinaria", Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 2002.
• Witold Hurewicz , "Lecturas sobre ecuaciones diferenciales ordinarias", Dover, 2002.
• Solomon Lefschetz , "Ecuaciones diferenciales: teoría geométrica", Dover, 2005.
• Lawrence Perko, "Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos", Springer-Verlag, 2006.
• Arthur Mattuck , Ciclos límite: criterios de existencia y no existencia, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

• "ciclo límite" . planetmath.org . Consultado el 6 de julio de 2019 .