Limitar lo inferior y limitar lo superior

Consideremos una secuencia${\displaystyle (x_{n})}$que consta de números reales. Supongamos que el límite superior y el límite inferior son números reales (es decir, no infinitos).

• El límite superior de${\displaystyle x_{n}}$es el número real más pequeño${\displaystyle b}$de tal manera que, para cualquier número real positivo${\displaystyle \varepsilon }$, existe un número natural${\displaystyle N}$de tal manera que${\displaystyle x_{n}<b+\varepsilon }$a pesar de${\displaystyle n>N}$En otras palabras, cualquier número mayor que el límite superior es un límite superior eventual para la secuencia. Solo un número finito de elementos de la secuencia son mayores que${\displaystyle b+\varepsilon }$.
• El límite inferior de${\displaystyle x_{n}}$es el número real más grande${\displaystyle b}$de tal manera que, para cualquier número real positivo${\displaystyle \varepsilon }$, existe un número natural${\displaystyle N}$de tal manera que${\displaystyle x_{n}>b-\varepsilon }$a pesar de${\displaystyle n>N}$En otras palabras, cualquier número por debajo del límite inferior es un límite inferior eventual para la secuencia. Solo un número finito de elementos de la secuencia son menores que${\displaystyle b-\varepsilon }$.

La relación entre límite inferior y límite superior para secuencias de números reales es la siguiente: $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(-x_{n}\right)=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$$

Como se mencionó anteriormente, es conveniente extender${\displaystyle \mathbb {R} }$a${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$Entonces,${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$en${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$converge si y solo si $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$$ en cuyo caso${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$es igual a su valor común. (Tenga en cuenta que cuando trabaja solo en${\displaystyle \mathbb {R} ,}$convergencia a${\displaystyle -\infty }$o${\displaystyle \infty }$(Esto no se consideraría convergencia). Dado que el límite inferior es como máximo el límite superior, se cumplen las siguientes condiciones.$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\liminf _{n\to \infty }x_{n}&=\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,\\[0.3ex]\limsup _{n\to \infty }x_{n}&=-\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .\end{alignedat}}}$$

Si${\displaystyle I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$y${\displaystyle S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$, entonces el intervalo${\displaystyle [I,S]}$no es necesario que contenga ninguno de los números${\displaystyle x_{n},}$pero cada pequeño agrandamiento${\displaystyle [I-\epsilon ,S+\epsilon ],}$para cantidades arbitrariamente pequeñas${\displaystyle \epsilon >0,}$contendrá${\displaystyle x_{n}}$para todos los índices excepto un número finito${\displaystyle n.}$De hecho, el intervalo${\displaystyle [I,S]}$es el intervalo cerrado más pequeño con esta propiedad. Podemos formalizar esta propiedad de esta manera: existen subsecuencias${\displaystyle x_{k_{n}}}$y${\displaystyle x_{h_{n}}}$de${\displaystyle x_{n}}$(dónde${\displaystyle k_{n}}$y${\displaystyle h_{n}}$están aumentando) para lo cual tenemos$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon }$$

Por otro lado, existe una${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$para que para todos${\displaystyle n\geq n_{0}}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon }$$

Para recapitular:

• Si${\displaystyle \Lambda }$es mayor que el límite superior, hay como máximo un número finito de ellos.${\displaystyle x_{n}}$más que${\displaystyle \Lambda$ ;} si es menor, hay infinitos.
• Si${\displaystyle \lambda }$es menor que el límite inferior, hay como máximo un número finito de ellos.${\displaystyle x_{n}}$menos que${\displaystyle \lambda$ ;} si es mayor, hay infinitos.

Por el contrario, también se puede demostrar que:

• Si hay infinitos${\displaystyle x_{n}}$mayor o igual que${\displaystyle \Lambda }$, entonces${\displaystyle \Lambda }$es menor o igual que el límite supremo; si solo hay un número finito de${\displaystyle x_{n}}$más que${\displaystyle \Lambda }$, entonces${\displaystyle \Lambda }$es mayor o igual que el límite supremo.
• Si hay infinitos${\displaystyle x_{n}}$menor o igual que${\displaystyle \lambda }$, entonces${\displaystyle \lambda }$es mayor o igual que el límite inferior; si solo hay un número finito de ellos.${\displaystyle x_{n}}$menor que${\displaystyle \lambda }$, entonces${\displaystyle \lambda }$es menor o igual que el límite inferior. ^{[ 2 ]}

En general,$${\displaystyle \inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}.}$$El liminf y el limsup de una secuencia son, respectivamente, los puntos de clúster más pequeños y más grandes . ^{[ 3 ]}

• Para cualesquiera dos secuencias de números reales${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$el límite superior satisface la subaditividad siempre que el lado derecho de la desigualdad esté definido (es decir, no${\displaystyle \infty -\infty }$o${\displaystyle -\infty +\infty }$):$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\ \limsup _{n\to \infty }b_{n}.}$$

Análogamente, el límite inferior satisface la superaditividad :$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\ \liminf _{n\to \infty }b_{n}.}$$En el caso particular de que una de las secuencias converja, por ejemplo${\displaystyle a_{n}\to a,}$entonces las desigualdades anteriores se convierten en igualdades (con${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}}$o${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}}$siendo reemplazado por${\displaystyle a}$).

• Para cualesquiera dos secuencias de números reales no negativos${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$las desigualdades$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\leq \left(\limsup _{n\to \infty }a_{n}\!\right)\!\!\left(\limsup _{n\to \infty }b_{n}\!\right)}$$y$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\geq \left(\liminf _{n\to \infty }a_{n}\right)\!\!\left(\liminf _{n\to \infty }b_{n}\right)}$$

sostener siempre que el lado derecho no sea de la forma${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

Si${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$existe (incluido el caso)${\displaystyle A=+\infty }$) y${\displaystyle B=\limsup _{n\to \infty }b_{n},}$entonces${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}b_{n}\right)=AB}$siempre que${\displaystyle AB}$no es de la forma${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

Existe una noción de limsup y liminf para funciones definidas en un espacio métrico cuya relación con los límites de funciones de valor real refleja la relación entre el limsup, el liminf y el límite de una sucesión real. Tomemos un espacio métrico${\displaystyle X}$, un subespacio${\displaystyle E}$contenido en${\displaystyle X}$y una función${\displaystyle f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}}$. Defina, para cualquier punto${\displaystyle a}$del cierre de${\displaystyle E}$, ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$ y

$${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$

dónde${\displaystyle B(a,\varepsilon )}$denota la bola métrica de radio${\displaystyle \varepsilon }$acerca de${\displaystyle a}$.

Nótese que a medida que ε se contrae, el supremo de la función sobre la bola no es creciente (es estrictamente decreciente o permanece igual), por lo que tenemos

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$ y de manera similar $${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right).}$$

La definición de limsup y liminf en espacios métricos puede reformularse de forma equivalente como sigue:

• El límite superior de${\displaystyle f(x)}$como${\displaystyle x\to x_{0}}$es el supremo de${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})}$tomado sobre todas las secuencias que tienden a${\displaystyle x_{0}}$.
• El límite inferior de${\displaystyle f(x)}$como${\displaystyle x\to x_{0}}$es el ínfimo de${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }f(x_{n})}$tomado sobre todas las secuencias que tienden a${\displaystyle x_{0}}$.

Esto finalmente motiva las definiciones para espacios topológicos generales . Tomemos X , E y a como antes, pero ahora sea X un espacio topológico. En este caso, reemplazamos las bolas métricas con vecindades : ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf \,\{\,\sup \,\{f(x):x\in E\cap U\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U\}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup \,\{\,\inf \,\{f(x):x\in E\cap U\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U\}}$

(Existe una forma de escribir la fórmula usando "lim" mediante redes y el filtro de vecindad ). Esta versión suele ser útil en discusiones sobre semicontinuidad , que aparecen con frecuencia en análisis. Un dato interesante es que esta versión engloba la versión secuencial al considerar las secuencias como funciones de los números naturales como un subespacio topológico de la recta real extendida, dentro del espacio (la clausura de N en [−∞,∞], la recta real extendida , es N ∪ {∞}).   

Una secuencia de conjuntos en un espacio metrizable${\displaystyle X}$Se aproxima a un conjunto límite cuando los elementos de cada miembro de la secuencia se aproximan a los elementos del conjunto límite. En particular, si${\displaystyle (X_{n})}$es una secuencia de subconjuntos de${\displaystyle X,}$entonces:

• ${\displaystyle \limsup X_{n},}$que también se denomina límite exterior , consta de aquellos elementos que son límites de puntos en${\displaystyle X_{n}}$tomado de (contablemente) infinitos${\displaystyle n.}$Eso es,${\displaystyle x\in \limsup X_{n}}$si y solo si existe una secuencia de puntos${\displaystyle (x_{k})}$y una subsecuencia${\displaystyle (X_{n_{k}})}$de${\displaystyle (X_{n})}$de tal manera que${\displaystyle x_{k}\in X_{n_{k}}}$y${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$
• ${\displaystyle \liminf X_{n},}$que también se llama límite interior , consiste en aquellos elementos que son límites de puntos en${\displaystyle X_{n}}$para todos excepto para un número finito de personas${\displaystyle n}$(es decir, cofinitamente muchos${\displaystyle n}$). Eso es,${\displaystyle x\in \liminf X_{n}}$si y solo si existe una secuencia de puntos${\displaystyle (x_{k})}$de tal manera que${\displaystyle x_{k}\in X_{k}}$y${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$

El límite${\displaystyle \lim X_{n}}$existe si y solo si${\displaystyle \liminf X_{n}}$y${\displaystyle \limsup X_{n}}$de acuerdo, en cuyo caso${\displaystyle \lim X_{n}=\limsup X_{n}=\liminf X_{n}.}$^{[ 9 ]} Los límites exterior e interior no deben confundirse con loslímites superior e inferior de la teoría de conjuntos, ya que estos últimos conjuntos no son sensibles a la estructura topológica del espacio.

Esta es la definición utilizada en la teoría de la medida y la probabilidad . Un análisis más detallado y ejemplos desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, en contraposición al punto de vista topológico que se analiza más adelante, se encuentran en el límite de la teoría de conjuntos .

Según esta definición, una sucesión de conjuntos se aproxima a un conjunto límite cuando dicho conjunto límite incluye elementos que se encuentran en todos los conjuntos de la sucesión, salvo un número finito de ellos , y no incluye elementos que se encuentran en todos los complementos de los conjuntos de la sucesión, salvo un número finito de ellos. Es decir, este caso particulariza la definición general cuando la topología del conjunto X se deriva de la métrica discreta .

Específicamente, para los puntos x , y ∈ X , la métrica discreta se define por

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}}$

Según esta definición, una sucesión de puntos ( x _k ) converge al punto x ∈ X si y solo si x _k = x para todos los k excepto un número finito de ellos . Por lo tanto, si existe el conjunto límite, este contiene los puntos, y solo los puntos, que pertenecen a todos los conjuntos de la sucesión excepto a un número finito de ellos. Dado que la convergencia en la métrica discreta es la forma más estricta de convergencia (es decir, requiere el máximo número de k), esta definición de conjunto límite es la más estricta posible.

Si ( X _n ) es una secuencia de subconjuntos de X , entonces siempre se cumplen las siguientes condiciones:

• lim sup X _n consiste en elementos de X que pertenecen a X _n para infinitos n (véase infinito numerable ). Es decir, x ∈ lim sup X _n si y solo si existe una subsucesión ( X _{n k} ) de ( X _n ) tal que x ∈ X _{n k} para todo k .
• lim inf X _n consiste en elementos de X que pertenecen a X _n para todos los n excepto para un número finito de n (es decir, para un número cofinito de n ). Es decir, x ∈ lim inf X _n si y solo si existe algún m > 0 tal que x ∈ X _n para todo n > m .

Obsérvese que x ∈ lim sup X _n si y solo si x ∉ lim inf X _n ^c .

• lim X _n existe si y solo si lim inf X _n y lim sup X _n coinciden, en cuyo caso lim X _n = lim sup X _n = lim inf X _n .

En este sentido, la secuencia tiene un límite siempre que cada punto en X aparezca en todos los X _n excepto en un número finito de ellos o aparezca en todos los X _n ^c excepto en un número finito de ellos . ^{[ 10 ]}

Utilizando la terminología estándar de la teoría de conjuntos, la inclusión de conjuntos proporciona un orden parcial en la colección de todos los subconjuntos de X que permite que la intersección de conjuntos genere una cota inferior máxima y la unión de conjuntos genere una cota superior mínima. Así, el ínfimo o punto de encuentro de una colección de subconjuntos es la cota inferior máxima, mientras que el supremo o punto de unión es la cota superior mínima. En este contexto, el límite interno, lim inf X _n , es el punto de encuentro máximo de las colas de la secuencia, y el límite externo, lim sup X _n , es el punto de unión mínimo de las colas de la secuencia. A continuación se precisa esto.

• Sea I _n el punto de encuentro de la n ^-ésima cola de la secuencia. Es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

La secuencia ( I _n ) es no decreciente (es decir, I _n ⊆ I _{n +1} ) porque cada I _{n +1} es la intersección de menos conjuntos que I _n . La cota superior mínima de esta secuencia de encuentros de colas es

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup \,\{\,\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el límite ínfimo contiene todos los subconjuntos que son cotas inferiores para todos los conjuntos de la secuencia, excepto un número finito de ellos.

• De manera similar, sea J _n la unión de la n ^-ésima cola de la secuencia. Es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}&=\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

La secuencia ( J _n ) es no creciente (es decir, J _n ⊇ J _{n +1} ) porque cada J _{n +1} es la unión de menos conjuntos que J _n . El mayor límite inferior de esta secuencia de uniones de colas es

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf \,\{\,\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el límite supremo está contenido en todos los subconjuntos que son cotas superiores para todos los conjuntos de la secuencia, excepto un número finito de ellos.

A continuación se presentan varios ejemplos de convergencia de conjuntos. Se han dividido en secciones con respecto a la métrica utilizada para inducir la topología en el conjunto X.

Utilizando la métrica discreta

• El lema de Borel-Cantelli es un ejemplo de aplicación de estas construcciones.

Utilizando la métrica discreta o la métrica euclidiana.

• Consideremos el conjunto X = {0,1} y la secuencia de subconjuntos:

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

Los elementos "impares" y "pares" de esta secuencia forman dos subsecuencias, ({0}, {0}, {0}, ...) y ({1}, {1}, {1}, ...), que tienen puntos límite 0 y 1, respectivamente, por lo que el límite exterior o superior es el conjunto {0,1} de estos dos puntos. Sin embargo, no hay puntos límite que se puedan tomar de la secuencia ( X _n ) en su conjunto, por lo que el límite interior o inferior es el conjunto vacío { }. Es decir,

• lim sup X _n = {0,1}
• lim inf X _n = { }

Sin embargo, para ( Y _n ) = ({0}, {0}, {0}, ...) y ( Z _n ) = ({1}, {1}, {1}, ...):

• lim sup Y _n = lim inf Y _n = lim Y _n = {0}
• lim sup Z _n = lim inf Z _n = lim Z _n = {1}

• Consideremos el conjunto X = {50, 20, −100, −25, 0, 1} y la secuencia de subconjuntos:

${\displaystyle (X_{n})=(\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

Como en los dos ejemplos anteriores,

• lim sup X _n = {0,1}
• lim inf X _n = { }

Es decir, los cuatro elementos que no coinciden con el patrón no afectan al límite inferior ni al límite superior porque su número es finito. De hecho, estos elementos podrían ubicarse en cualquier parte de la secuencia. Mientras se mantengan los extremos de la secuencia, los límites superior e inferior permanecerán inalterados. Los conceptos relacionados de límites superior e inferior esenciales , que utilizan el supremo y el ínfimo esenciales , proporcionan una modificación importante que reduce la cantidad de adiciones intersticiales (en lugar de solo una cantidad finita).

Utilizando la métrica euclidiana

• Consideremos la secuencia de subconjuntos de números racionales :

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots ).}$

Los elementos "impares" y "pares" de esta secuencia forman dos subsecuencias, ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) y ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...), que tienen puntos límite 1 y 0, respectivamente, por lo que el límite exterior o superior es el conjunto {0,1} de estos dos puntos. Sin embargo, no hay puntos límite que se puedan tomar de la secuencia ( X _n ) en su conjunto, por lo que el límite interior o inferior es el conjunto vacío { }. Así, como en el ejemplo anterior,

• lim sup X _n = {0,1}
• lim inf X _n = { }

Sin embargo, para ( Y _n ) = ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) y ( Z _n ) = ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...):

• lim sup Y _n = lim inf Y _n = lim Y _n = {1}
• lim sup Z _n = lim inf Z _n = lim Z _n = {0}

En cada uno de estos cuatro casos, los elementos de los conjuntos límite no son elementos de ninguno de los conjuntos de la secuencia original.

• El límite Ω (es decir, el conjunto límite ) de una solución a un sistema dinámico es el límite exterior de las trayectorias de la solución del sistema. ^{[ 9 ] : 50–51} Debido a que las trayectorias se acercan cada vez más a este conjunto límite, las colas de estas trayectorias convergen al conjunto límite.

• Por ejemplo, un sistema LTI que es la conexión en cascada de varios sistemas estables con un sistema LTI de segundo orden sin amortiguación (es decir, con coeficiente de amortiguación cero ) oscilará infinitamente después de ser perturbado (por ejemplo, una campana ideal después de ser golpeada). Por lo tanto, si se grafican la posición y la velocidad de este sistema, las trayectorias se aproximarán a un círculo en el espacio de estados . Este círculo, que es el conjunto límite Ω del sistema, es el límite exterior de las trayectorias de solución del sistema. El círculo representa el lugar geométrico de una trayectoria que corresponde a una salida de tono sinusoidal puro; es decir, la salida del sistema se aproxima a un tono puro.

El límite inferior de un conjunto X  ⊆ Y es el ínfimo de todos los puntos límite del conjunto. Es decir,

${\displaystyle \liminf X:=\inf \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

De manera similar, el límite superior de X es el supremo de todos los puntos límite del conjunto. Es decir,

${\displaystyle \limsup X:=\sup \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

Cabe señalar que , para que estas definiciones tengan sentido, el conjunto X debe definirse como un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado Y que, además, sea un espacio topológico . Asimismo, debe ser un retículo completo, de modo que siempre existan los supremos y los ínfimos. En ese caso, todo conjunto tiene un límite superior y un límite inferior. Es importante destacar que el límite inferior y el límite superior de un conjunto no tienen por qué ser elementos del mismo.

Consideremos un espacio topológico X y una base de filtro B en ese espacio. El conjunto de todos los puntos de agrupación para esa base de filtro viene dado por

${\displaystyle \bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

dónde${\displaystyle {\overline {B}}_{0}}$es el cierre de${\displaystyle B_{0}}$. Este es claramente un conjunto cerrado y es similar al conjunto de puntos límite de un conjunto. Supongamos que X también es un conjunto parcialmente ordenado . El límite superior de la base del filtro B se define como

${\displaystyle \limsup B:=\sup \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

cuando existe ese supremo. Cuando X tiene un orden total , es una red completa y tiene la topología de orden ,

${\displaystyle \limsup B=\inf \,\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

De manera similar, el límite inferior de la base del filtro B se define como

${\displaystyle \liminf B:=\inf \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

cuando existe ese ínfimo; si X está totalmente ordenado, es una red completa y tiene la topología de orden, entonces

${\displaystyle \liminf B=\sup \,\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

Si el límite inferior y el límite superior coinciden, entonces debe haber exactamente un punto de agrupación y el límite de la base del filtro es igual a este único punto de agrupación.