Límite de una función

Suponer${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$es una función definida en la recta real , y hay dos números reales p y L. Se diría: "El límite de f de x , cuando x se aproxima a p , existe y es igual a L ". y se escribiría, ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$ o alternativamente, diga " f ( x ) tiende a L cuando x tiende a p ", y escriba, $${\displaystyle f(x)\to L{\text{ cuando }}x\to p,}$$ Si se cumple la siguiente propiedad: para todo ε real > 0 , existe un δ real > 0 tal que para todo x real , 0 < | x − p | < δ implica | f ( x ) − L | < ε . ^{[ 9 ]} Simbólicamente, $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in \mathbb {R} )\,(0<|xp|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Por ejemplo, uno puede decir $${\displaystyle \lim _{x\to 2}(4x+1)=9}$$ porque para todo ε real > 0 , podemos tomar δ = ε /4 , de modo que para todo x real , si 0 < | x − 2 | < δ , entonces | 4 x + 1 − 9 | < ε .

Una definición más general se aplica a las funciones definidas en subconjuntos de la recta real. Sea S un subconjunto de ⁠${\displaystyle \mathbb {R} .}$Deje​${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$Sea p una función de valor real . Sea p un punto tal que existe algún intervalo abierto ( a , b ) que contiene a p con${\displaystyle (a,p)\cup (p,b)\subset S.}$Se dice entonces que el límite de f cuando x tiende a p es L , si:

Simbólicamente, $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<|xp|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Por ejemplo, uno puede decir $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\sqrt {x+3}}=2}$$ porque para todo ε real > 0 , podemos tomar δ = ε , de modo que para todo x real ≥ −3 , si 0 < | x − 1 | < δ , entonces | f ( x ) − 2 | < ε . En este ejemplo, S = [−3, ∞) contiene intervalos abiertos alrededor del punto 1 (por ejemplo, el intervalo (0, 2)).

Aquí, observe que el valor del límite no depende de que f esté definida en p , ni del valor f ( p ) —si está definida. Por ejemplo, sea${\displaystyle f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.}$$${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=3}$$ porque para cada ε > 0 , podemos tomar δ = ε /2 , de modo que para todo x real ≠ 1 , si 0 < | x − 1 | < δ , entonces | f ( x ) − 3 | < ε . Nótese que aquí f (1) no está definido.

De hecho, puede existir un límite en${\displaystyle \{p\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R}$ :\,p\in (a,b){\text{ y }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},} lo cual es igual a${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$donde int S es el interior de S , e iso S ^c son los puntos aislados del complemento de S. En nuestro ejemplo anterior donde${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2],}$${\displaystyle \operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),}$${\displaystyle \operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.}$Vemos, concretamente, que esta definición de límite permite que exista un límite en 1, pero no en 0 o 2.

Las letras ε y δ pueden entenderse como "error" y "distancia". De hecho, Cauchy usó ε como abreviatura de "error" en algunos de sus trabajos, ^{[ 4 ]} aunque en su definición de continuidad, usó un infinitesimal.${\displaystyle \alpha }$en lugar de ε o δ (véase Curso de Análisis ). En estos términos, el error ( ε ) en la medición del valor en el límite puede hacerse tan pequeño como se desee reduciendo la distancia ( δ ) al punto límite. Como se explica más adelante, esta definición también funciona para funciones en un contexto más general. La idea de que δ y ε representan distancias ayuda a sugerir estas generalizaciones.

Alternativamente, x puede aproximarse a p desde arriba (derecha) o desde abajo (izquierda), en cuyo caso los límites pueden escribirse como

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L}$$

o

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L}$$

respectivamente. Si estos límites existen en p y son iguales allí, entonces esto puede denominarse el límite de f ( x ) en p . ^{[ 10 ]} Si los límites laterales existen en p , pero son diferentes, entonces no hay límite en p (es decir, el límite en p no existe). Si alguno de los límites laterales no existe en p , entonces el límite en p tampoco existe.

Una definición formal es la siguiente. El límite de f cuando x se aproxima a p desde arriba es L si:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que siempre que 0 < x − p < δ , tenemos | f ( x ) − L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<xp<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

El límite de f cuando x se aproxima a p desde abajo es L si:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que siempre que 0 < p − x < δ , tenemos | f ( x ) − L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<px<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Si el límite no existe, entonces la oscilación de f en p es distinta de cero.

Los límites también pueden definirse aproximándose a partir de subconjuntos del dominio.

En general: ^{[ 11 ]} Sea${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$sea ​​una función de valor real definida en algún${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$Sea p un punto límite de algún${\displaystyle T\subset S}$— es decir, p es el límite de alguna sucesión de elementos de T distintos de p . Entonces decimos que el límite de f , cuando x se aproxima a p desde valores en T , es L , escrito $${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {x\in T}}f(x)=L}$$ Si se cumple lo siguiente:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in T)\,(0<|xp|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Nótese que T puede ser cualquier subconjunto de S , el dominio de f . Y el límite podría depender de la selección de T. Esta generalización incluye como casos especiales límites en un intervalo, así como límites por la izquierda de funciones de valor real (por ejemplo, tomando T como un intervalo abierto de la forma (–∞, a ) ), y límites por la derecha (por ejemplo, tomando T como un intervalo abierto de la forma ( a , ∞) ). También extiende la noción de límites laterales a los extremos incluidos de intervalos (semi)cerrados, por lo que la función raíz cuadrada${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$puede tener límite 0 cuando x se acerca a 0 desde arriba: $${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {x\in [0,\infty )}}{\sqrt {x}}=0}$$ puesto que para cada ε > 0 , podemos tomar δ = ε ² tal que para todo x ≥ 0 , si 0 < | x − 0 | < δ , entonces | f ( x ) − 0 | < ε .

Esta definición permite definir un límite en los puntos límite del dominio S , si se elige un subconjunto T adecuado que tenga el mismo punto límite.

Cabe destacar que la definición bilateral anterior funciona en${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$que es un subconjunto de los puntos límite de S.

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2].}$La definición bilateral anterior funcionaría en${\displaystyle 1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},}$pero no funcionaría en 0 o 2, que son puntos límite de S.

La definición de límite que se da aquí no depende de cómo (o si) f está definida en p . Bartle ^{[ 12 ]} se refiere a esto como un límite eliminado , porque excluye el valor de f en p . El límite no eliminado correspondiente sí depende del valor de f en p , si p está en el dominio de f . Sea${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$Sea f una función de valor real. El límite no eliminado de f , cuando x se aproxima a p , es L si

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

La definición es la misma, excepto que el entorno | x − p | < δ ahora incluye el punto p , a diferencia del entorno eliminado 0 < | x − p | < δ . Esto hace que la definición de un límite no eliminado sea menos general. Una de las ventajas de trabajar con límites no eliminados es que permiten enunciar el teorema sobre límites de composiciones sin ninguna restricción sobre las funciones (aparte de la existencia de sus límites no eliminados). ^{[ 13 ]}

Bartle ^{[ 12 ]} señala que, si bien algunos autores se refieren a este límite no eliminado por "límite", los límites eliminados son los más populares. ^{[ 14 ]}

Dejar${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ser una función definida en${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$El límite de f cuando x tiende a infinito es L , denotado

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}$$

significa que:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x>c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

De manera similar, el límite de f cuando x tiende a menos infinito es L , denotado

$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L,}$$

significa que:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x<-c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Por ejemplo, $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(-{\frac {3\sin x}{x}}+4\right)=4}$$ porque para cada ε > 0 , podemos tomar c = 3/ ε tal que para todo x real , si x > c , entonces | f ( x ) − 4 | < ε .

Otro ejemplo es que $${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0}$$ porque para cada ε > 0 , podemos tomar c = max{1, −ln( ε )} tal que para todo x real , si x < − c , entonces | f ( x ) − 0 | < ε .

Para una función cuyos valores crecen sin límite, la función diverge y el límite usual no existe. Sin embargo, en este caso se pueden introducir límites con valores infinitos.

Dejar${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ser una función definida en${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$La afirmación de que el límite de f cuando x tiende a p es infinito , denotada

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=\infty ,}$$

significa que:

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)>N).}$$

La afirmación de que el límite de f cuando x se acerca a p es menos infinito , denotada

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=-\infty ,}$$

significa que:

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)<-N).}$$

Por ejemplo, $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {1}{(x-1)^{2}}}=\infty }$$ porque para cada N > 0 , podemos tomar${\textstyle \delta ={\tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta }}={\tfrac {1}{\sqrt {N}}}}$de tal manera que para todo x real > 0 , si 0 < x − 1 < δ , entonces f ( x ) > N .

Estas ideas se pueden utilizar juntas para producir definiciones para diferentes combinaciones, como por ejemplo:

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,}$$o${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .}$

Por ejemplo, $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }$$ porque para cada N > 0 , podemos tomar δ = e ^{− N} tal que para todo x real > 0 , si 0 < x − 0 < δ , entonces f ( x ) < − N .

Los límites que involucran el infinito están relacionados con el concepto de asíntotas .

Estas nociones de límite intentan proporcionar una interpretación en el espacio métrico a los límites en el infinito. De hecho, son consistentes con la definición de límite en el espacio topológico si

• Un entorno de −∞ se define para contener un intervalo [−∞, c ) para algún ⁠${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$⁠
• Un vecindario de ∞ se define para contener un intervalo ( c , ∞] donde${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$y​
• un barrio de${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$Se define de la forma habitual en el espacio métrico .${\displaystyle \mathbb {R} .}$⁠

En este caso ,${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$es un espacio topológico y cualquier función de la forma${\displaystyle f:X\to Y}$con${\displaystyle X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$Está sujeto a la definición topológica de límite. Cabe señalar que, con esta definición topológica, es fácil definir límites infinitos en puntos finitos, que no se han definido anteriormente en el sentido métrico.

Muchos autores ^{[ 15 ]} permiten que la recta real extendida proyectivamente se utilice como una forma de incluir valores infinitos, así como la recta real extendida . Con esta notación, la recta real extendida se da como ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$y la recta real extendida proyectivamente es${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$donde un entorno de ∞ es un conjunto de la forma${\displaystyle \{x:|x|>c\}.}$ La ventaja es que solo se necesitan tres definiciones de límites (izquierdo, derecho y central) para cubrir todos los casos. Como se presentó anteriormente, para una descripción completamente rigurosa, necesitaríamos considerar 15 casos separados para cada combinación de infinitos (cinco direcciones: − ∞ , izquierda, central, derecha y + ∞ ; tres cotas: − ∞ , finito o + ∞ ). También hay escollos notables. Por ejemplo, al trabajar con la recta real extendida,${\displaystyle x^{-1}}$no posee límite central (lo cual es normal):

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}$$

En cambio, cuando se trabaja con la recta real proyectiva, los infinitos (al igual que el 0) no tienen signo, por lo que el límite central sí existe en ese contexto:

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0}{1 \over x}=\infty .}$$

De hecho, existe una plétora de sistemas formales conflictivos en uso. En ciertas aplicaciones de diferenciación e integración numérica , es conveniente, por ejemplo, tener ceros con signo . Una razón simple tiene que ver con el recíproco de${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,}$es decir, es conveniente para${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0}$para ser considerado verdadero. Dichos ceros pueden verse como una aproximación a infinitesimales .

Existen tres reglas básicas para evaluar límites en el infinito para una función racional.${\displaystyle f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}}$(donde p y q son polinomios):

• Si el grado de p es mayor que el grado de q , entonces el límite es infinito positivo o negativo dependiendo de los signos de los coeficientes principales;
• Si el grado de p y q son iguales, el límite es el coeficiente principal de p dividido por el coeficiente principal de q ;
• Si el grado de p es menor que el grado de q , el límite es 0.

Si existe un límite en el infinito, representa una asíntota horizontal en y = L. Los polinomios no tienen asíntotas horizontales; sin embargo, tales asíntotas pueden aparecer en funciones racionales.

Al observar que | x − p | representa una distancia , la definición de límite puede extenderse a funciones de más de una variable. En el caso de una función${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$definido en${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$Definimos el límite de la siguiente manera: el límite de f cuando ( x , y ) se aproxima a ( p , q ) es L , escrito

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L}$$

si se cumple la siguiente condición:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x en S e y en T , siempre que${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}$tenemos | f ( x , y ) − L | < ε , ^{[ 16 ]}

o formalmente: $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\varepsilon )).}$$

Aquí${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$es la distancia euclidiana entre ( x , y ) y ( p , q ) . (De hecho, esto puede reemplazarse por cualquier norma | | ( x , y ) − ( p , q ) | | , y extenderse a cualquier número de variables).

Por ejemplo, podemos decir $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}=0}$$ porque para cada ε > 0 , podemos tomar${\textstyle \delta ={\sqrt {\varepsilon }}}$de tal manera que para todo x real ≠ 0 y y real ≠ 0 , si${\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}$entonces | f ( x , y ) − 0 | < ε .

De forma similar al caso de una sola variable, el valor de f en ( p , q ) no importa en esta definición de límite.

Para que exista tal límite multivariable, esta definición requiere que el valor de f se aproxime a L a lo largo de cada posible camino que se aproxime a ( p , q ) . ^{[ 17 ]} En el ejemplo anterior, la función $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}}$$ satisface esta condición. Esto se puede ver al considerar las coordenadas polares .$${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\to (0,0),}$$ lo cual da $${\displaystyle \lim _{r\to 0}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\lim _{r\to 0}{\frac {r^{4}\cos ^{4}\theta }{r^{2}}}=\lim _{r\to 0}r^{2}\cos ^{4}\theta .}$$ Aquí θ = θ ( r ) es una función de r que controla la forma del camino a lo largo del cual f se aproxima a ( p , q ) . Dado que cos θ está acotado entre [−1, 1], por el teorema del sándwich , este límite tiende a 0.

Por el contrario, la función $${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$$ no tiene límite en (0, 0) . Tomando el camino ( x , y ) = ( t , 0) → (0, 0) , obtenemos $${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,0)=\lim _{t\to 0}{\frac {0}{t^{2}}}=0,}$$ mientras tomamos el camino ( x , y ) = ( t , t ) → (0, 0) , obtenemos $${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}.}$$

Dado que los dos valores no coinciden, f no tiende a un único valor cuando ( x , y ) se aproxima a (0, 0) .

Aunque menos común, existe otro tipo de límite para una función multivariable, conocido como límite múltiple . Para una función de dos variables, este es el límite doble . ^{[ 18 ]} Sea${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$ser definido en${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$Decimos que el límite doble de f cuando x se acerca a p e y se acerca a q es L , escrito

$${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {y\to q}}f(x,y)=L}$$

si se cumple la siguiente condición:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((0<|x-p|<\delta )\land (0<|y-q|<\delta )\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

Para que exista tal límite doble, esta definición requiere que el valor de f se aproxime a L a lo largo de cada posible trayectoria que se aproxime a ( p , q ) , excluyendo las dos líneas x = p e y = q . Como resultado, el límite múltiple es una noción más débil que el límite ordinario: si el límite ordinario existe y es igual a L , entonces el límite múltiple existe y también es igual a L. Lo contrario no es cierto: la existencia de los límites múltiples no implica la existencia del límite ordinario. Considere el ejemplo $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$$ dónde $${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {y\to 0}}f(x,y)=1}$$ pero $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$$No existe.

Si el dominio de f está restringido a${\displaystyle (S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),}$entonces las dos definiciones de límites coinciden. ^{[ 18 ]}

El concepto de límite múltiple puede extenderse al límite en el infinito, de forma similar a como lo hace una función de una sola variable. Para${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ,}$Decimos que el límite doble de f cuando x e y tienden a infinito es L , escrito $${\displaystyle \lim _{{x\to \infty } \atop {y\to \infty }}f(x,y)=L}$$

si se cumple la siguiente condición:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x>c)\land (y>c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

Decimos que el límite doble de f cuando x e y tienden a menos infinito es L , escrito $${\displaystyle \lim _{{x\to -\infty } \atop {y\to -\infty }}f(x,y)=L}$$

si se cumple la siguiente condición:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x<-c)\land (y<-c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

Dejar${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$En lugar de tomar el límite cuando ( x , y ) → ( p , q ) , podemos considerar tomar el límite de una sola variable, digamos, x → p , para obtener una función de una sola variable de y , es decir${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} .}$De hecho, este proceso de limitación se puede realizar de dos maneras distintas. La primera se llama límite puntual . Decimos que el límite puntual de f cuando x se acerca a p es g , denotado $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y),}$$o $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{pointwise}}.}$$

Alternativamente, podemos decir que f tiende a g punto por punto cuando x se acerca a p , denotado $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$o $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{pointwise}}\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

Este límite existe si se cumple lo siguiente:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\forall y\in T)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

Aquí, δ = δ ( ε , y ) es una función tanto de ε como de y . Cada δ se elige para un punto específico de y . Por lo tanto, decimos que el límite es puntual en y . Por ejemplo, $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x}{\cos y}}}$$ tiene un límite puntual de función cero constante $${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{pointwise}}}$$ porque para cada y fijo , el límite es claramente 0. Este argumento falla si y no es fijo: si y está muy cerca de π /2 , el valor de la fracción puede desviarse de 0.

Esto nos lleva a otra definición de límite, a saber, el límite uniforme . Decimos que el límite uniforme de f en T cuando x se aproxima a p es g , denotado $${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$o $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T.}$$

Alternativamente, podemos decir que f tiende a g uniformemente en T cuando x se acerca a p , denotado $${\displaystyle f(x,y)\rightrightarrows g(y)\;{\text{on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$o $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

Este límite existe si se cumple lo siguiente:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

Aquí, δ = δ ( ε ) es una función solo de ε pero no de y . En otras palabras, δ es uniformemente aplicable a todos los y en T . Por lo tanto, decimos que el límite es uniforme en y . Por ejemplo, $${\displaystyle f(x,y)=x\cos y}$$ tiene un límite uniforme de función cero constante $${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{ uniformly on}}\;\mathbb {R} }$$ porque para todo y real , cos y está acotado entre [−1, 1] . Por lo tanto, independientemente de cómo se comporte y , podemos usar el teorema del sándwich para demostrar que el límite es 0.

Dejar${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$Podemos considerar tomar el límite de una sola variable, digamos, x → p , para obtener una función de una sola variable de y , es decir${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} ,}$y luego tomamos el límite en la otra variable, es decir y → q , para obtener un número L. Simbólicamente, $${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)=\lim _{y\to q}g(y)=L.}$$

Este límite se conoce como límite iterado de la función multivariable. ^{[ 20 ]} El orden de tomar los límites puede afectar el resultado, es decir,

$${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)\neq \lim _{x\to p}\lim _{y\to q}f(x,y)}$$en general.

Una condición suficiente de igualdad viene dada por el teorema de Moore-Osgood , que requiere el límite${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)}$ser uniforme en T . ^{[ 21 ]}

El límite en el espacio euclidiano es una generalización directa de los límites a funciones con valores vectoriales . Por ejemplo, podemos considerar una función${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}}$de tal manera que $${\displaystyle f(x,y)=(f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y)).}$$ Luego, bajo la métrica euclidiana usual , $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=(L_{1},L_{2},L_{3})}$$ Si se cumple lo siguiente:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x en S e y en T ,${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }$implica${\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}$^{[ 23 ]}

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,\left(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon \right).}$$

En este ejemplo, la función en cuestión es una función vectorial de dimensión finita. En este caso, el teorema del límite para funciones vectoriales establece que si existe el límite de cada componente, entonces el límite de una función vectorial es igual al vector con cada componente tomando el límite: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}{\Bigl (}f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y){\Bigr )}=\left(\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{1}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{2}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{3}(x,y)\right).}$$

También se podrían considerar espacios distintos al espacio euclidiano. Un ejemplo sería el espacio de Manhattan. Consideremos${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{2}}$de tal manera que $${\displaystyle f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).}$$ Luego, bajo la métrica de Manhattan , $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=(L_{1},L_{2})}$$ Si se cumple lo siguiente:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f_{1}-L_{1}|+|f_{2}-L_{2}|<\varepsilon ).}$$

Dado que también se trata de una función vectorial de dimensión finita, el teorema límite mencionado anteriormente también se aplica. ^{[ 24 ]}

Finalmente, discutiremos el límite en el espacio de funciones , que tiene dimensiones infinitas. Consideremos una función f ( x , y ) en el espacio de funciones.${\displaystyle S\times T\to \mathbb {R} .}$Queremos averiguar cómo , cuando x se aproxima a p , f ( x , y ) tenderá a otra función g ( y ) , que se encuentra en el espacio de funciones.${\displaystyle T\to \mathbb {R} .}$La "proximidad" en este espacio de funciones puede medirse bajo la métrica uniforme . ^{[ 25 ]} Entonces, diremos que el límite uniforme de f en T cuando x se aproxima a p es g y escribiremos $${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$o $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T,}$$

Si se cumple lo siguiente:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x en S , 0 < | x − p | < δ implica${\displaystyle \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .}$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

De hecho, se puede observar que esta definición es equivalente a la del límite uniforme de una función multivariable introducida en la sección anterior.

Para funciones en la recta real, una forma de definir el límite de una función es en términos del límite de sucesiones. (Esta definición se suele atribuir a Eduard Heine ). En este contexto: $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$ Si, y solo si, para todas las secuencias x _n (con, para todo n , x _n distinto de a ) que convergen a a la secuencia f ( x _n ) converge a L . Sierpiński demostró en 1916 que probar la equivalencia de esta definición y la definición anterior requiere y es equivalente a una forma débil del axioma de elección . Nótese que definir qué significa que una secuencia x _n converja a a requiere el método épsilon, delta .

De forma similar a como ocurrió con la definición de Weierstrass, una definición de Heine más general se aplica a funciones definidas en subconjuntos de la recta real. Sea f una función de valores reales con dominio Dm( f ) . Sea a el límite de una sucesión de elementos de Dm( f ) \ { a }. Entonces, el límite (en este sentido) de f es L cuando x se aproxima a a si para toda sucesión x _n ∈ Dm( f ) \ { a } (de modo que para todo n , x _n no es igual a a ) que converge a a , la sucesión f ( x _n ) converge a L. Esto es lo mismo que la definición de límite secuencial en la sección anterior obtenida al considerar el subconjunto Dm ( f ) de${\displaystyle \mathbb {R} }$como un espacio métrico con la métrica inducida.

En el cálculo no estándar, el límite de una función se define por: $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$ si y solo si para todos${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*},}$${\displaystyle f^{*}(x)-L}$es infinitesimal siempre que x − a sea infinitesimal. Aquí${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$son los números hiperreales y f* es la extensión natural de f a los números reales no estándar. Keisler demostró que tal definición hiperreal de límite reduce la complejidad de cuantificadores en dos cuantificadores. ^{[ 26 ]} Por otro lado, Hrbacek escribe que para que las definiciones sean válidas para todos los números hiperreales deben estar implícitamente fundamentadas en el método ε-δ, y afirma que, desde el punto de vista pedagógico, la esperanza de que el cálculo no estándar pudiera realizarse sin métodos ε-δ no puede realizarse por completo. ^{[ 27 ]} Bŀaszczyk et al. detallan la utilidad de la microcontinuidad en el desarrollo de una definición transparente de continuidad uniforme , y caracterizan la crítica de Hrbacek como un "lamento dudoso". ^{[ 28 ]}

En el congreso internacional de matemáticas de 1908, F. Riesz introdujo una forma alternativa de definir límites y continuidad en el concepto llamado "proximidad". ^{[ 29 ]} Un punto x se define como cercano a un conjunto${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$si para cada r > 0 hay un punto a ∈ A tal que | x − a | < r . En este contexto, $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$ si y solo si para todos${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ,}$L está cerca de f ( A ) siempre que a esté cerca de A . Aquí f ( A ) es el conjunto${\displaystyle \{f(x)\mid x\in A\}.}$ Esta definición también puede extenderse a espacios métricos y topológicos.