Límite de una secuencia

Ejemplos de límite de una sucesión en números reales son los siguientes:

• Si${\displaystyle x_{n}=c}$ para constante${\textstyle c}$, entonces${\displaystyle x_{n}\to c}$. ^{[ prueba 1 ] [ 6 ]}
• Si${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$, entonces${\displaystyle x_{n}\to 0}$. ^{[ prueba 2 ] [ 6 ]}
• Si${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$cuando${\displaystyle n}$es par, y${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$cuando${\displaystyle n}$es extraño, entonces${\displaystyle x_{n}\to 0}$. (El hecho de que${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$cuando sea${\displaystyle n}$(Es extraño, pero irrelevante).
• Dado cualquier número real, se puede construir fácilmente una sucesión que converja a ese número tomando aproximaciones decimales. Por ejemplo, la sucesión${\estilo de texto 0.3,0.33,0.333,0.3333,\puntos }$converge a${\textstyle {\frac {1}{3}}}$La representación decimal${\textstyle 0.3333\dots }$es el límite de la secuencia anterior, definido por$${\displaystyle 0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}}$$
• Encontrar el límite de una sucesión no siempre es obvio. Dos ejemplos son:${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}$(cuyo límite es el número e ) y la media aritmético-geométrica . El teorema de compresión suele ser útil para establecer dichos límites.

Nosotros llamamos${\displaystyle x}$el límite de la secuencia${\displaystyle (x_{n})}$, que está escrito

${\displaystyle x_{n}\to x}$, o

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$,

si se cumple la siguiente condición:

Para cada número real${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe un número natural${\displaystyle N}$de tal manera que, para cada número natural${\displaystyle n\geq N}$, tenemos${\displaystyle |x_{n}-x|<\varepsilon }$. ^{[ 7 ]}

En otras palabras, por cada medida de cercanía${\displaystyle \varepsilon }$Los términos de la secuencia están finalmente muy cerca del límite. La secuencia${\displaystyle (x_{n})}$Se dice que converge o tiende al límite.${\displaystyle x}$.

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

Si una secuencia${\displaystyle (x_{n})}$converge a algún límite${\displaystyle x}$, entonces es convergente y${\displaystyle x}$es el único límite; de ​​lo contrario${\displaystyle (x_{n})}$es divergente . Una secuencia que tiene cero como límite a veces se llama secuencia nula .

• 
  Ejemplo de una sucesión que converge al límite${\displaystyle a}$
• 
  Independientemente de cuál${\displaystyle \varepsilon >0}$tenemos, hay un índice${\displaystyle N_{0}}$, de modo que la secuencia queda después completamente dentro del tubo épsilon${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$.
• 
  También existe para un tamaño más pequeño.${\displaystyle \varepsilon _{1}>0}$un índice${\displaystyle N_{1}}$, de modo que la secuencia queda posteriormente dentro del tubo épsilon${\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})}$.
• 
  Para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$Solo hay un número finito de miembros de la secuencia fuera del tubo épsilon.

Otras propiedades importantes de los límites de sucesiones reales incluyen las siguientes:

• Cuando existe, el límite de una secuencia es único. ^{[ 6 ]}
• Los límites de las secuencias se comportan bien con respecto a las operaciones aritméticas habituales . Si${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$y${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$entonces existe

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}$proporcionó${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}$

• Para cualquier función continua${\textstyle f}$, si${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$entonces existe${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)}$También existe. De hecho, cualquier función de valor real${\textstyle f}$es continua si y solo si preserva los límites de las sucesiones (aunque esto no es necesariamente cierto cuando se utilizan nociones más generales de continuidad).

• Si${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$a pesar de${\displaystyle n}$mayor que algunos${\displaystyle N}$, entonces${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$.
• ( Teorema de compresión ) Si${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$a pesar de${\displaystyle n}$mayor que algunos${\displaystyle N}$, y${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$, entonces${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$.
• ( Teorema de convergencia monótona ) Si${\displaystyle a_{n}}$es acotado y monótono para todo${\displaystyle n}$mayor que algunos${\displaystyle N}$, entonces es convergente.
• Una sucesión es convergente si y solo si todas sus subsucesiones son convergentes.
• Si cada subsecuencia de una secuencia tiene su propia subsecuencia que converge al mismo punto, entonces la secuencia original converge a ese punto.

Estas propiedades se utilizan ampliamente para demostrar límites, sin necesidad de utilizar directamente la engorrosa definición formal. Por ejemplo, una vez que se demuestra que${\displaystyle 1/n\to 0}$, resulta fácil demostrar —utilizando las propiedades anteriores— que${\displaystyle {\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}}$(suponiendo que${\displaystyle b\neq 0}$).

Una secuencia${\displaystyle (x_{n})}$Se dice que tiende al infinito , escrito

${\displaystyle x_{n}\to \infty }$, o

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$,

Si se cumple lo siguiente:

Para cada número real${\displaystyle K}$, hay un número natural${\displaystyle N}$de tal manera que para cada número natural${\displaystyle n\geq N}$, tenemos${\displaystyle x_{n}>K}$; es decir, los términos de la secuencia son eventualmente mayores que cualquier fijo${\displaystyle K}$.

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}>K\right)\right)\right)}$.

De manera similar, decimos que una sucesión tiende a menos infinito , escrito

${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$, o

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty }$,

Si se cumple lo siguiente:

Para cada número real${\displaystyle K}$, hay un número natural${\displaystyle N}$de tal manera que para cada número natural${\displaystyle n\geq N}$, tenemos${\displaystyle x_{n}<K}$; es decir, los términos de la secuencia son eventualmente más pequeños que cualquier fijo${\displaystyle K}$.

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}<K\right)\right)\right)}$.

Si una sucesión tiende a infinito o menos infinito, entonces es divergente. Sin embargo, una sucesión divergente no necesariamente tiende a más o menos infinito, y la sucesión${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$proporciona un ejemplo de ello.

Un punto${\displaystyle x}$del espacio métrico${\displaystyle (X,d)}$es el límite de la secuencia${\displaystyle (x_{n})}$si:

Para cada número real${\displaystyle \varepsilon >0}$, hay un número natural${\displaystyle N}$de tal manera que, para cada número natural${\displaystyle n\geq N}$, tenemos${\displaystyle d(x_{n},x)<\varepsilon }$.

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies d(x_{n},x)<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

Esto coincide con la definición dada para los números reales cuando${\displaystyle X=\mathbb {R} }$y${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$.

• Cuando existe, el límite de una secuencia es único, ya que los puntos distintos están separados por alguna distancia positiva, por lo que${\displaystyle \varepsilon }$menos de la mitad de esta distancia, los términos de la secuencia no pueden estar dentro de una distancia${\displaystyle \varepsilon }$de ambos puntos.

• Para cualquier función continua f , si${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$entonces existe${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)}$De hecho, una función f es continua si y solo si conserva los límites de las sucesiones.

Una sucesión de Cauchy es una sucesión cuyos términos, tras descartar suficientes términos iniciales, se aproximan arbitrariamente entre sí. El concepto de sucesión de Cauchy es importante en el estudio de sucesiones en espacios métricos y, en particular, en análisis real . Un resultado especialmente importante en análisis real es el criterio de Cauchy para la convergencia de sucesiones : una sucesión de números reales converge si y solo si es una sucesión de Cauchy. Esto se mantiene en otros espacios métricos completos .

Un punto${\displaystyle x\in X}$del espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$es unlimitar opunto límite ^{[ 8 ] [ 9 ]} de lasecuencia${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$si:

Para cada barrio${\displaystyle U}$de${\displaystyle x}$, existe algo${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$de tal manera que para cada${\displaystyle n\geq N}$, tenemos${\displaystyle x_{n}\in U}$. ^{[ 10 ]}

Esto coincide con la definición dada para espacios métricos, si${\displaystyle (X,d)}$es un espacio métrico y${\displaystyle \tau }$es la topología generada por${\displaystyle d}$.

Límite de una sucesión de puntos${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$en un espacio topológico${\displaystyle T}$es un caso especial de límite de una función : el dominio es${\displaystyle \mathbb {N} }$en el espacio${\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$, con la topología inducida del sistema de números reales extendido afínmente , el rango es${\displaystyle T}$y el argumento de la función${\displaystyle n}$tiende a${\displaystyle +\infty }$, que en este espacio es un punto límite de${\displaystyle \mathbb {N} }$.

En un espacio de Hausdorff , los límites de las sucesiones son únicos siempre que existan. Esto no tiene por qué ser así en espacios que no son de Hausdorff; en particular, si dos puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son topológicamente indistinguibles , entonces cualquier secuencia que converge a${\displaystyle x}$debe converger a${\displaystyle y}$y viceversa.

• Si${\displaystyle x_{n,m}=c}$ para constante${\textstyle c}$, entonces${\displaystyle x_{n,m}\to c}$.
• Si${\displaystyle x_{n,m}={\frac {1}{n+m}}}$, entonces${\displaystyle x_{n,m}\to 0}$.
• Si${\displaystyle x_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$, entonces el límite no existe. Dependiendo de la "velocidad de crecimiento" relativa de${\textstyle n}$y${\textstyle m}$, esta secuencia puede acercarse a cualquier valor entre${\textstyle 0}$y${\textstyle 1}$.

Nosotros llamamos${\displaystyle x}$el límite doble de la secuencia${\displaystyle (x_{n,m})}$, escrito

${\displaystyle x_{n,m}\to x}$, o

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=x}$,

si se cumple la siguiente condición:

Para cada número real${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe un número natural${\displaystyle N}$de tal manera que, para cada par de números naturales${\displaystyle n,m\geq N}$, tenemos${\displaystyle |x_{n,m}-x|<\varepsilon }$. ^{[ 11 ]}

En otras palabras, por cada medida de cercanía${\displaystyle \varepsilon }$Los términos de la secuencia están finalmente muy cerca del límite. La secuencia${\displaystyle (x_{n,m})}$Se dice que converge o tiende al límite.${\displaystyle x}$.

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies |x_{n,m}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

El límite doble es diferente de calcular el límite primero en n y luego en m . Este último se conoce como límite iterado . Dado que tanto el límite doble como el límite iterado existen, tienen el mismo valor. Sin embargo, es posible que uno exista y el otro no.

Una secuencia${\displaystyle (x_{n,m})}$Se dice que tiende al infinito , escrito

${\displaystyle x_{n,m}\to \infty }$, o

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=\infty }$,

Si se cumple lo siguiente:

Para cada número real${\displaystyle K}$, hay un número natural${\displaystyle N}$de tal manera que para cada par de números naturales${\displaystyle n,m\geq N}$, tenemos${\displaystyle x_{n,m}>K}$; es decir, los términos de la secuencia son eventualmente mayores que cualquier fijo${\displaystyle K}$.

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}>K\right)\right)\right)}$.

De manera similar, una secuencia${\displaystyle (x_{n,m})}$tiende a menos infinito , escrito

${\displaystyle x_{n,m}\to -\infty }$, o

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=-\infty }$,

Si se cumple lo siguiente:

Para cada número real${\displaystyle K}$, hay un número natural${\displaystyle N}$de tal manera que para cada par de números naturales${\displaystyle n,m\geq N}$, tenemos${\displaystyle x_{n,m}<K}$; es decir, los términos de la secuencia son eventualmente más pequeños que cualquier fijo${\displaystyle K}$.

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}<K\right)\right)\right)}$.

Si una sucesión tiende a infinito o menos infinito, entonces es divergente. Sin embargo, una sucesión divergente no necesariamente tiende a más o menos infinito, y la sucesión${\displaystyle x_{n,m}=(-1)^{n+m}}$proporciona un ejemplo de ello.

Para una secuencia doble${\displaystyle (x_{n,m})}$, podemos tomar el límite en uno de los índices, digamos,${\displaystyle n\to \infty }$para obtener una única secuencia${\displaystyle (y_{m})}$. De hecho, existen dos posibles significados al tomar este límite. El primero se llama límite puntual , denotado

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$, o

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$,

lo cual significa:

Para cada número real${\displaystyle \varepsilon >0}$y cada número natural fijo${\displaystyle m}$, existe un número natural${\displaystyle N(\varepsilon ,m)>0}$de tal manera que, para cada número natural${\displaystyle n\geq N}$, tenemos${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$. ^{[ 12 ]}

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

Cuando existe tal límite, decimos que la secuencia${\displaystyle (x_{n,m})}$converge puntualmente a${\displaystyle (y_{m})}$.

El segundo se llama límite uniforme , denotado

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$,

${\displaystyle x_{n,m}\rightrightarrows y_{m}}$, o

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif} \lim }}\;x_{n,m}=y_{m}}$,

lo cual significa:

Para cada número real${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe un número natural${\displaystyle N(\varepsilon )>0}$de tal manera que, para cada número natural${\displaystyle m}$y para cada número natural${\displaystyle n\geq N}$, tenemos${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$. ^{[ 12 ]}

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

En esta definición, la elección de${\displaystyle N}$es independiente de${\displaystyle m}$. En otras palabras, la elección de${\displaystyle N}$es aplicable uniformemente a todos los números naturales${\displaystyle m}$Por lo tanto, se puede ver fácilmente que la convergencia uniforme es una propiedad más fuerte que la convergencia puntual: la existencia de un límite uniforme implica la existencia e igualdad de un límite puntual:

Si${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$uniformemente, entonces${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$punto por punto.

Cuando existe tal límite, decimos que la secuencia${\displaystyle (x_{n,m})}$converge uniformemente a${\displaystyle (y_{m})}$.

Para una secuencia doble${\displaystyle (x_{n,m})}$, podemos tomar el límite en uno de los índices, digamos,${\displaystyle n\to \infty }$para obtener una única secuencia${\displaystyle (y_{m})}$y luego tomar el límite en el otro índice, es decir${\displaystyle m\to \infty }$para obtener un número${\displaystyle y}$. Simbólicamente,

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=y}$.

Este límite se conoce como límite iterado de la secuencia doble. El orden en que se toman los límites puede afectar el resultado, es decir,

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}\neq \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }x_{n,m}}$en general.

Una condición suficiente de igualdad viene dada por el teorema de Moore-Osgood , que requiere el límite${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}}$ser uniforme en${\textstyle m}$. ^{[ 11 ]}