Principio de amplitud límite

En matemáticas, el principio de amplitud límite es un concepto de la teoría de operadores y la teoría de la dispersión que se utiliza para elegir una solución particular a la ecuación de Helmholtz . La elección se realiza considerando un problema particular dependiente del tiempo de las oscilaciones forzadas debidas a la acción de una fuerza periódica. El principio fue introducido por Andrey Nikolayevich Tikhonov y Alexander Andreevich Samarskii . ^{[ 1 ]} Está estrechamente relacionado con el principio de absorción límite (1905) y la condición de radiación de Sommerfeld (1912). La terminología —tanto el principio de absorción límite como el principio de amplitud límite— fue introducida por Aleksei Sveshnikov . ^{[ 2 ]}

Para encontrar cuál solución a la ecuación de Helmholtz con segundo miembro distinto de cero

${\displaystyle \Delta v(x)+k^{2}v(x)=-F(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{3},}$

con algunos fijos${\displaystyle k>0}$, corresponde a las ondas salientes, se considera la ecuación de onda con el término fuente,

${\displaystyle (\Delta -\partial _{t}^{2})u(x,t)=-F(x)e^{-ikt},\quad t\geq 0,\quad x\in \mathbb {R} ^{3},}$

con datos iniciales cero${\displaystyle u(x,0)=0,\,\partial _{t}u(x,0)=0}$. Una solución particular a la ecuación de Helmholtz correspondiente a ondas salientes se obtiene como el límite

${\displaystyle v(x)=\lim _{t\to +\infty }u(x,t)e^{ikt}}$

para tiempos prolongados. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

• Principio de absorción límite
• Condición de radiación de Sommerfeld