Distribución asintótica

En matemáticas y estadística , una distribución asintótica es una distribución de probabilidad que, en cierto sentido, representa el límite de una secuencia de distribuciones. Uno de los principales usos del concepto de distribución asintótica consiste en proporcionar aproximaciones a las funciones de distribución acumulativa de los estimadores estadísticos .

Una secuencia de distribuciones corresponde a una secuencia de variables aleatorias Z _i para${\displaystyle i=1,2,\dots }$En el caso más simple, existe una distribución asintótica si la distribución de probabilidad de Z _i converge a una distribución de probabilidad (la distribución asintótica) a medida que i aumenta: véase convergencia en distribución . Un caso especial de distribución asintótica se da cuando la secuencia de variables aleatorias es siempre cero, es decir, Z _i = 0 para todo i . En este caso, la distribución asintótica es una distribución degenerada en el valor cero.

Sin embargo, el sentido más habitual en el que se utiliza el término distribución asintótica surge cuando las variables aleatorias Z _i se modifican mediante dos secuencias de valores no aleatorios. Por lo tanto, si

${\displaystyle Y_{i}={\frac {Z_{i}-a_{i}}{b_{i}}}}$

Si dos secuencias { a _i } y { b _i } convergen en distribución a una distribución no degenerada, entonces se dice que Z _i tiene esa distribución como su distribución asintótica. Si la función de distribución de la distribución asintótica es F , entonces las siguientes aproximaciones son válidas para n grande :

${\displaystyle P\left({\frac {Z_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\leq x\right)\approx F(x),}$

${\displaystyle P(Z_{n}\leq z)\approx F\left({\frac {z-a_{n}}{b_{n}}}\right).}$

Si existe una distribución asintótica, no necesariamente significa que cualquier resultado de la secuencia de variables aleatorias sea una secuencia de números convergente. Es la secuencia de distribuciones de probabilidad la que converge.

Quizás la distribución más común que surge como distribución asintótica es la distribución normal . En particular, el teorema del límite central proporciona un ejemplo donde la distribución asintótica es la distribución normal .

Teorema del límite central

Suponer${\displaystyle \{X_{1},X_{2},\dots \}}$es una secuencia de variables aleatorias i.i.d. con${\displaystyle \mathrm {E} [X_{i}]=\mu }$y${\displaystyle \operatorname {Var} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty }$. Dejar${\displaystyle S_{n}}$ser el promedio de${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$Entonces como${\displaystyle n}$se aproxima al infinito, las variables aleatorias${\displaystyle {\sqrt {n}}(S_{n}-\mu )}$convergen en distribución a una normal${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$: ^{[ 1 ]}

El teorema del límite central solo proporciona una distribución asintótica. Como aproximación para un número finito de observaciones, ofrece una aproximación razonable únicamente cuando se encuentra cerca del pico de la distribución normal; requiere un número muy grande de observaciones para abarcar los extremos de la distribución.

• Análisis asintótico
• Teoría asintótica (estadística)
• Teorema de De Moivre-Laplace
• Densidad límite de puntos discretos
• Método Delta