intersección línea-plano

En geometría , la intersección de una recta y un plano en el espacio tridimensional puede ser el conjunto vacío , un punto o la propia recta. Es la recta completa si esta se encuentra dentro del plano, y es el conjunto vacío si la recta es paralela al plano pero se encuentra fuera de él. En caso contrario, la recta corta el plano en un único punto.

La distinción entre estos casos y la determinación de ecuaciones para el punto y la línea en los últimos casos resultan útiles en gráficos por computadora , planificación de movimiento y detección de colisiones .

En notación vectorial , un plano puede expresarse como el conjunto de puntos${\displaystyle \mathbf {p} }$para qué

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$

dónde${\displaystyle \mathbf {n} }$es un vector normal al plano y${\displaystyle \mathbf {p_{0}} }$es un punto en el plano. (La notación${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$denota el producto escalar de los vectores${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$.)

La ecuación vectorial de una línea es

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d\quad d\in \mathbb {R} }$

dónde${\displaystyle \mathbf {l} }$es un vector unitario en la dirección de la línea,${\displaystyle \mathbf {l_{0}} }$es un punto en la línea, y ${\displaystyle d}$es un escalar en el dominio de los números reales . Sustituyendo la ecuación de la recta en la ecuación del plano se obtiene

${\displaystyle ((\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d)-\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0.}$

La expansión da

${\displaystyle (\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} )\ d+(\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0.}$

Y resolver para${\displaystyle d}$da

${\displaystyle d={(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} \over \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} }.}$

Si${\displaystyle \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} =0}$entonces la línea y el plano son paralelos. Habrá dos casos: si${\displaystyle (\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$En ese caso, la recta está contenida en el plano, es decir, la recta interseca el plano en cada uno de sus puntos. De lo contrario, la recta y el plano no se intersecan.

Si${\displaystyle \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} \neq 0}$Hay un único punto de intersección. El valor de${\displaystyle d}$se puede calcular y el punto de intersección,${\displaystyle \mathbf {p} }$, se da por

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {l_ {0}} +\mathbf {l} \ d}$.

Una línea se describe mediante todos los puntos que se encuentran en una dirección dada desde un punto. Un punto general en una línea que pasa por puntos${\displaystyle \mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})}$y${\displaystyle \mathbf {l} _ {b}=(x_ {b},y_ {b},z_ {b})}$puede representarse como

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t,\quad t\in \mathbb {R} ,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {l} _{ab}=\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}}$es el vector que apunta desde${\displaystyle \mathbf {l} _ {a}}$a${\displaystyle \mathbf {l} _{b}}$.

De manera similar, un punto general en un plano determinado por el triángulo definido por los puntos${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$,${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$y${\displaystyle \mathbf {p} _ {2}=(x_ {2},y_ {2},z_ {2})}$puede representarse como

${\displaystyle \mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,\quad u,v\in \mathbb {R} ,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {p} _{01}=\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}}$es el vector que apunta desde${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$a${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$, y${\displaystyle \mathbf {p} _{02}=\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}}$es el vector que apunta desde${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$a${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$.

El punto en el que la recta interseca el plano se describe, por lo tanto, igualando el punto de la recta al punto del plano, lo que da como resultado la ecuación paramétrica :

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t=\mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v.}$

Esto se puede reescribir como

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=-\mathbf {l} _{ab}t+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,}$

que puede expresarse en forma matricial como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}},}$

donde los vectores se escriben como vectores columna.

Esto produce un sistema de ecuaciones lineales que se puede resolver para${\displaystyle t}$,${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$Si la solución satisface la condición${\displaystyle t\in [0,1],}$, entonces el punto de intersección está en el segmento de línea entre${\displaystyle \mathbf {l} _{a}}$y${\displaystyle \mathbf {l} _{b}}$, de lo contrario está en otro punto de la línea. Del mismo modo, si la solución satisface${\displaystyle u,v\in [0,1],}$, entonces el punto de intersección está en el paralelogramo formado por el punto${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$y vectores${\displaystyle \mathbf {p} _{01}}$y${\displaystyle \mathbf {p} _{02}}$. Si la solución satisface además${\displaystyle (u+v)\leq 1}$, entonces el punto de intersección se encuentra en el triángulo formado por los tres puntos${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$,${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$.

El determinante de la matriz se puede calcular como

${\displaystyle \det({\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}})=-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02}).}$

Si el determinante es cero, entonces no hay una solución única; la recta está en el plano o es paralela a él.

Si existe una solución única (el determinante no es 0), entonces se puede encontrar invirtiendo la matriz y reordenándola:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}},}$

que se expande a

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}^{\mathrm {T} }\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}}$

y luego a

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\end{bmatrix}},}$

así se obtienen las soluciones:

${\displaystyle t={\frac {{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}}$

${\displaystyle u={\frac {{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}}$

${\displaystyle v={\frac {{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}.}$

El punto de intersección es entonces igual a

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t}$

En el método de trazado de rayos de los gráficos por computadora, una superficie se puede representar como un conjunto de planos. La intersección de un rayo de luz con cada plano se utiliza para producir una imagen de la superficie. En la reconstrucción 3D basada en visión , un subcampo de la visión por computadora , los valores de profundidad se miden comúnmente mediante el método de triangulación, que encuentra la intersección entre el plano de luz y el rayo reflejado hacia la cámara.

El algoritmo se puede generalizar para cubrir la intersección con otras figuras planas, en particular, la intersección de un poliedro con una línea .

• Coordenadas de Plücker#Encuentro plano-línea: cálculo de la intersección cuando la línea se expresa mediante coordenadas de Plücker.
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