Línea moiré

La superposición de dos capas con líneas de inclinación idéntica forma líneas de moiré inclinadas al mismo ángulo. La figura 5 se obtiene a partir de la figura 1 con un corte vertical. En la figura 5, las líneas de las capas y las líneas de moiré están inclinadas 10 grados. Dado que la inclinación no es una rotación, durante la inclinación la distancia ( p ) entre las líneas de las capas a lo largo del eje vertical se conserva, pero la distancia real ( T ) entre las líneas (a lo largo de un eje perpendicular a estas líneas) cambia. La diferencia entre los periodos verticales p _b , p _r , y las distancias T _b , T _r se muestra en el diagrama de la figura 8.

El grado de inclinación de las líneas de capa puede variar a lo largo del eje horizontal, formando curvas. La superposición de dos capas con un patrón de inclinación idéntico genera curvas de moiré con el mismo patrón. En la Figura 6, el grado de inclinación de las líneas de capa varía gradualmente según la siguiente secuencia de grados (+30, –30, +30, –30, +30). Los periodos de capa p _b y p _r representan las distancias entre las curvas a lo largo del eje vertical. Las fórmulas presentadas para calcular el periodo p _m (la distancia vertical entre las curvas de moiré) y la aceleración óptica (a lo largo del eje vertical) son válidas para la Figura 6.

Más interesante aún es el caso en que los grados de inclinación de las líneas de las capas no son iguales para las capas base y las que revelan la información. La Figura 7 muestra una animación de imágenes superpuestas donde el grado de inclinación de las líneas de la capa base es constante (10 grados), pero la inclinación de las líneas de la capa que revela la información oscila entre 5 y 15 grados. Los periodos de las capas a lo largo del eje vertical, p _b y p _r, son siempre los mismos. De igual modo, el periodo p _m (a lo largo del eje vertical), calculado con la fórmula básica, también permanece constante.

La Figura 8 ayuda a calcular el grado de inclinación de las líneas ópticas de moiré en función de la inclinación de las líneas de la capa base y la capa reveladora. Dibujamos las líneas de las capas esquemáticamente sin mostrar sus espesores reales. Las líneas gruesas del diagrama inclinadas α _b grados son las líneas de la capa base. Las líneas gruesas inclinadas α _r grados son las líneas de la capa reveladora. Las líneas de la capa base están separadas verticalmente por una distancia igual a p _b , y las líneas de la capa reveladora están separadas verticalmente por una distancia igual a p _r . Las distancias T _b y T _r representan el espacio real entre las líneas de la capa base y la capa reveladora, respectivamente. Las intersecciones de las líneas de las capas base y reveladora (marcadas en la figura con dos flechas) se encuentran sobre un eje central de una banda de moiré de luz. La línea discontinua de la Figura 8 corresponde al eje de la banda de moiré de luz. Por lo tanto, el grado de inclinación de las líneas de moiré es la inclinación α _m de la línea discontinua.

De la Figura 8 deducimos las dos ecuaciones siguientes:

${\displaystyle {\begin{casos}\tan \alpha _{m}={\frac {p_{b}+l\cdot \tan \alpha _{b}}{l}}\\\tan \alpha _{r}={\frac {p_{b}-p_{r}+l\cdot \tan \alpha _{b}}{l}}\end{casos}}}$

A partir de estas ecuaciones deducimos la ecuación para calcular la inclinación de las líneas de moiré en función de las inclinaciones de la capa base y las líneas de la capa reveladora:

${\displaystyle \tan \alpha _{m}={\frac {p_{b}\cdot \tan \alpha _{r}-p_{r}\cdot \tan \alpha _{b}}{p_{b}-p_{r}}}}$

Los períodos de patrón verdaderos T _b , T _r , y T _m (a lo largo de los ejes perpendiculares a las líneas de patrón) se calculan de la siguiente manera (véase la Figura 8):

${\displaystyle T_{b}=p_{b}\cdot \cos \alpha _{b},\ T_{r}=p_{r}\cdot \cos \alpha _{r},\ T_{m}=p_{m}\cdot \cos \alpha _{m}}$

A partir de aquí, utilizando la fórmula para calcular tan( α _m ) con periodos p , deducimos una fórmula bien conocida para calcular el ángulo de moiré α _m con periodos T : ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle \alpha _{m}=\arctan \left({\frac {T_{b}\cdot \sin \alpha _{r}-T_{r}\cdot \sin \alpha _{b}}{T_{b}\cdot \cos \alpha _{r}-T_{r}\cdot \cos \alpha _{b}}}\right)}$

A partir de la fórmula para calcular p _m, deducimos otra fórmula bien conocida para calcular el período T _m del patrón de moiré (a lo largo del eje perpendicular a las bandas de moiré):

${\displaystyle T_{m}={\frac {T_{b}\cdot T_{r}}{\sqrt {T_{b}^{2}+T_{r}^{2}-2\cdot T_{b}\cdot T_{r}\cdot \cos(\alpha _{r}-\alpha _{b})}}}}$

En el caso particular en que T _b = T _r = T , la fórmula para el período T _m se reduce a la fórmula bien conocida:

${\displaystyle T_{m}={\frac {T}{2\cdot \sin \left({\frac {\alpha _{r}-\alpha _{b}}{2}}\right)}}}$

Y la fórmula para calcular α _m se reduce a:

${\displaystyle \alpha _{m}=90^{\circ }+{\frac {\alpha _{r}+\alpha _{b}}{2}}}$

Aquí está la ecuación para calcular la inclinación de la línea de capa reveladora α _r para una inclinación de la línea de capa base dada α _b , y una inclinación de la línea de moiré deseada α _m :

${\displaystyle \tan \alpha _{r}={\frac {p_{r}}{p_{b}}}\cdot \tan \alpha _{b}+\left(1-{\frac {p_{r}}{p_{b}}}\right)\cdot \tan \alpha _{m}.}$

Para cualquier inclinación de la línea de la capa base dada, esta ecuación nos permite obtener una inclinación de línea de moiré deseada eligiendo adecuadamente la inclinación de la capa reveladora. En la Figura 6 mostramos un ejemplo donde las curvas de las capas siguen un patrón de inclinación idéntico formando una imagen de superposición con el mismo patrón de inclinación. Los grados de inclinación de las capas y las líneas de moiré cambian a lo largo del eje horizontal según la siguiente secuencia de valores de grados alternos (+30, –30, +30, –30, +30). En la Figura 9 obtenemos el mismo patrón de superposición que en la Figura 6, pero con una capa base compuesta por líneas rectas inclinadas en –10 grados. El patrón revelador de la Figura 9 se calcula interpolando las curvas en líneas rectas conectadas, donde para cada posición a lo largo del eje horizontal, el ángulo de inclinación de la línea reveladora α _r se calcula como una función de α _b y α _m según la ecuación anterior.

La figura 9 demuestra que la diferencia entre los ángulos de inclinación de las líneas de la capa base y de revelación tiene que ser varias veces menor que la diferencia entre los ángulos de inclinación de las líneas de la capa base y de moiré.

Otro ejemplo que forma los mismos patrones de superposición que en las figuras 6 y 9 se muestra en la figura 10. En la figura 10, el patrón de inclinación deseado (+30, –30, +30, –30, +30) se obtiene utilizando una capa base con un patrón de inclinación invertido (–30, +30, –30, +30, –30).

La figura 11 muestra una animación donde se obtiene una imagen de superposición con un patrón de inclinación constante de líneas de moiré (+30, –30, +30, –30, +30) para pares de capas base y reveladoras que se modifican continuamente. El patrón de inclinación de la capa base cambia gradualmente y el patrón de inclinación de la capa reveladora se adapta correspondientemente, de modo que el patrón de inclinación de la imagen de superposición permanece constante.