Álgebra lineal

Las aplicaciones lineales son mapeos entre espacios vectoriales que preservan la estructura del espacio vectorial. Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un cuerpo F , una aplicación lineal (también llamada, en algunos contextos, transformación lineal o mapeo lineal) es un mapeo lineal.

${\displaystyle T:V\to W}$

que sea compatible con la suma y la multiplicación escalar, es decir

${\displaystyle T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} ),\quad T(a\mathbf {v} )=aT(\mathbf {v} )}$

para cualesquiera vectores u , v en V y escalar a en F.

Una condición equivalente es que

${\displaystyle T(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} )=aT(\mathbf {u} )+bT(\mathbf {v} )}$

para cualesquiera vectores u , v en V y escalares a , b en F.

Cuando V = W son el mismo espacio vectorial, una aplicación lineal T :  V → V también se conoce como un operador lineal en V.

Una aplicación lineal biyectiva entre dos espacios vectoriales (es decir, cada vector del segundo espacio se corresponde con exactamente uno del primero) es un isomorfismo . Dado que un isomorfismo conserva la estructura lineal, dos espacios vectoriales isomorfos son "esencialmente iguales" desde el punto de vista del álgebra lineal, en el sentido de que no pueden distinguirse mediante las propiedades de los espacios vectoriales. Una cuestión fundamental en álgebra lineal es determinar si una aplicación lineal es un isomorfismo o no, y, si no lo es, hallar su imagen (o imagen) y el conjunto de elementos que se corresponden con el vector cero, denominado núcleo de la aplicación. Todas estas cuestiones pueden resolverse mediante la eliminación gaussiana o alguna variante de este algoritmo .

El estudio de aquellos subconjuntos de espacios vectoriales que son, a su vez, espacios vectoriales bajo las operaciones inducidas es fundamental, al igual que para muchas estructuras matemáticas. Estos subconjuntos se denominan subespacios lineales . Más precisamente, un subespacio lineal de un espacio vectorial V sobre un cuerpo F es un subconjunto W de V tal que u + v y a u pertenecen a W , para todo u , v en W y todo a en F. (Estas condiciones bastan para implicar que W es un espacio vectorial).

Por ejemplo, dada una aplicación lineal T  : V → W , la imagen T ( V ) de V , y la imagen inversa T ⁻¹ ( 0 ) de 0 (llamada núcleo o espacio nulo), son subespacios lineales de W y V , respectivamente.

Otra forma importante de formar un subespacio es considerar combinaciones lineales de un conjunto S de vectores: el conjunto de todas las sumas

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k},}$

donde v ₁ , v ₂ , ..., v _k están en S , y a ₁ , a ₂ , ..., a _k están en F forman un subespacio lineal llamado espacio generado por S . El espacio generado por S es también la intersección de todos los subespacios lineales que contienen a S . En otras palabras, es el subespacio lineal más pequeño (para la relación de inclusión) que contiene a S .

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno está en el espacio generado por los demás. De forma equivalente, un conjunto S de vectores es linealmente independiente si la única manera de expresar el vector cero como una combinación lineal de elementos de S es tomar cero para cada coeficiente a _i .

Un conjunto de vectores que genera un espacio vectorial se denomina conjunto generador . Si un conjunto generador S es linealmente dependiente (es decir, no linealmente independiente), entonces algún elemento w de S pertenece al espacio generado por los demás elementos de S , y dicho espacio se mantendría igual si se eliminara w de S. Se pueden seguir eliminando elementos de S hasta obtener un conjunto generador linealmente independiente . Dicho conjunto linealmente independiente que genera un espacio vectorial V se denomina base de V. La importancia de las bases radica en que son simultáneamente conjuntos generadores mínimos y conjuntos independientes máximos. Más precisamente, si S es un conjunto linealmente independiente y T es un conjunto generador tal que S ⊆ T , entonces existe una base B tal que S ⊆ B ⊆ T.

Dos bases cualesquiera de un espacio vectorial V tienen la misma cardinalidad , que se denomina dimensión de V ; este es el teorema de la dimensión para espacios vectoriales . Además, dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo F son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión. ^{[ 10 ]}

Si cualquier base de V (y por lo tanto cualquier base) tiene un número finito de elementos, V es un espacio vectorial de dimensión finita . Si U es un subespacio de V , entonces dim U ≤ dim V. En el caso de que V sea de dimensión finita, la igualdad de las dimensiones implica U = V.

Si U ₁ y U ₂ son subespacios de V , entonces

${\displaystyle \dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2}),}$

donde U ₁ + U ₂ denota el espacio generado por U ₁ ∪ U ₂ . ^{[ 11 ]}

El determinante de una matriz cuadrada A se define como ^{[ 17 ].}

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)},}$

donde S _n es el grupo de todas las permutaciones de n elementos, σ es una permutación y (−1) ^σ la paridad de la permutación. Una matriz es invertible si y solo si su determinante es invertible (es decir, distinto de cero si los escalares pertenecen a un cuerpo).

La regla de Cramer es una expresión analítica , en términos de determinantes, de la solución de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas . La regla de Cramer es útil para razonar sobre la solución, pero, salvo para n = 2 o 3 , rara vez se utiliza para calcularla, ya que la eliminación gaussiana es un algoritmo más rápido.

El determinante de un endomorfismo es el determinante de la matriz que representa dicho endomorfismo en términos de una base ordenada. Esta definición tiene sentido, ya que este determinante es independiente de la elección de la base.

Si f es un endomorfismo lineal de un espacio vectorial V sobre un cuerpo F , un vector propio de f es un vector no nulo v de V tal que f ( v ) = av para algún escalar a en F. Este escalar a es un valor propio de f .

Si la dimensión de V es finita y se ha elegido una base, f y v pueden representarse, respectivamente, mediante una matriz cuadrada M y una matriz columna z ; la ecuación que define los autovectores y los autovalores se convierte en:

${\displaystyle Mz=az.}$

Utilizando la matriz identidad I , cuyas entradas son todas cero, excepto las de la diagonal principal, que son iguales a uno, esto se puede reescribir.

${\displaystyle (M-aI)z=0.}$

Como se supone que z es distinto de cero, esto significa que M – aI es una matriz singular y, por lo tanto, que su determinante det ( M − aI ) es igual a cero. Los valores propios son, por lo tanto, las raíces del polinomio.

${\displaystyle \det(xI-M).}$

Si V es de dimensión n , se trata de un polinomio mónico de grado n , llamado polinomio característico de la matriz (o del endomorfismo), y hay, como máximo, n valores propios.

Si existe una base compuesta únicamente por autovectores, la matriz de f sobre esta base tiene una estructura muy simple: es una matriz diagonal tal que los elementos de la diagonal principal son autovalores y los demás son cero. En este caso, se dice que el endomorfismo y la matriz son diagonalizables . De forma más general, un endomorfismo y una matriz también se consideran diagonalizables si se vuelven diagonalizables tras extender el cuerpo de los escalares. En este sentido extendido, si el polinomio característico es libre de cuadrados , entonces la matriz es diagonalizable.

Una matriz simétrica siempre es diagonalizable. Existen matrices no diagonalizables, siendo la más simple la siguiente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

(no puede ser diagonalizable ya que su cuadrado es la matriz cero , y el cuadrado de una matriz diagonal no nula nunca es cero).

Cuando un endomorfismo no es diagonalizable, existen bases sobre las que tiene una forma simple, aunque no tan simple como la forma diagonal. La forma normal de Frobenius no necesita extender el campo de escalares y hace que el polinomio característico sea inmediatamente legible en la matriz. La forma normal de Jordan requiere la extensión del campo de escalares para contener todos los autovalores y difiere de la forma diagonal solo por algunos elementos que se encuentran justo encima de la diagonal principal y son iguales a 1.

Dejar

${\displaystyle f:V\to W}$

Sea una aplicación lineal. Para cada forma lineal h en W , la función compuesta h ∘ f es una forma lineal en V. Esto define una aplicación lineal.

${\displaystyle f^{*}:W^{*}\to V^{*}}$

entre los espacios duales, que se denomina dual o transpuesta de f .

Si V y W son de dimensión finita, y M es la matriz de f en términos de algunas bases ordenadas, entonces la matriz de f* sobre las bases duales es la transpuesta M ^T de M , obtenida intercambiando filas y columnas.

Si los elementos de los espacios vectoriales y sus duales se representan mediante vectores columna, esta dualidad puede expresarse en notación bra-ket mediante

${\displaystyle \langle h^{\mathsf {T}},M\mathbf {v} \rangle =\langle h^{\mathsf {T}}M,\mathbf {v} \rangle .}$

Para resaltar esta simetría, los dos miembros de esta igualdad a veces se escriben

${\displaystyle \langle h^{\mathsf {T}}\mid M\mid \mathbf {v} \rangle .}$

Además de estos conceptos básicos, el álgebra lineal también estudia espacios vectoriales con estructura adicional, como el producto interno . El producto interno es un ejemplo de forma bilineal y confiere al espacio vectorial una estructura geométrica al permitir la definición de longitud y ángulos. Formalmente, un producto interno es una aplicación.

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F}$

que satisface los siguientes tres axiomas para todos los vectores u , v , w en V y todos los escalares a en F : ^{[ 21 ] [ 22 ]}

• Simetría conjugada :

  ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}.}$

En${\displaystyle \mathbb {R} }$, es simétrico.

• Linealidad en el primer argumento:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\langle a\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle &=a\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle .\\\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle &=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle .\end{aligned}}}$

• Definitividad positiva :

  ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0}$

con igualdad solo para v = 0 .

Podemos definir la longitud de un vector v en V mediante

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$

y podemos demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz :

${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|.}$

En particular, la cantidad

${\displaystyle {\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |}{\|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|}}\leq 1,}$

y por lo tanto podemos llamar a esta cantidad el coseno del ángulo entre los dos vectores.

Dos vectores son ortogonales si ⟨ u , v ⟩ = 0 . Una base ortonormal es una base donde todos los vectores base tienen longitud 1 y son ortogonales entre sí. Dado cualquier espacio vectorial de dimensión finita, se puede encontrar una base ortonormal mediante el procedimiento de Gram-Schmidt . Las bases ortonormales son particularmente fáciles de manejar, ya que si v = a ₁ v ₁ + ⋯ + a _n v _n , entonces

${\displaystyle a_{i}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle .}$

El producto interno facilita la construcción de muchos conceptos útiles. Por ejemplo, dada una transformación T , podemos definir su conjugada hermitiana T* como la transformación lineal que satisface

${\displaystyle \langle T\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,T^{*}\mathbf {v} \rangle .}$

Si T satisface TT* = T*T , decimos que T es normal . Resulta que las matrices normales son precisamente las matrices que tienen un sistema ortonormal de autovectores que generan V.

El análisis funcional estudia los espacios de funciones . Estos son espacios vectoriales con una estructura adicional, como los espacios de Hilbert . El álgebra lineal es, por lo tanto, una parte fundamental del análisis funcional y sus aplicaciones, que incluyen, en particular, la mecánica cuántica ( funciones de onda ) y el análisis de Fourier ( bases ortogonales ).

Casi todos los cálculos científicos implican álgebra lineal. Por consiguiente, los algoritmos de álgebra lineal se han optimizado considerablemente. BLAS y LAPACK son las implementaciones más conocidas. Para mejorar la eficiencia, algunas de ellas configuran automáticamente los algoritmos en tiempo de ejecución para adaptarlos a las características específicas del ordenador ( tamaño de la caché , número de núcleos disponibles ,  etc.).

Desde la década de 1960 ha habido procesadores con instrucciones especializadas ^{[ 24 ]} para optimizar las operaciones de álgebra lineal, procesadores de matriz opcionales ^{[ 25 ]} bajo el control de un procesador convencional, supercomputadoras ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} diseñadas para el procesamiento de matrices y procesadores convencionales aumentados ^{[ 29 ]} con registros vectoriales.

Algunos procesadores contemporáneos , típicamente unidades de procesamiento gráfico (GPU), están diseñados con una estructura matricial para optimizar las operaciones de álgebra lineal. ^{[ 30 ]}

La modelización del espacio ambiente se basa en la geometría . Las ciencias relacionadas con este espacio utilizan la geometría de forma extensiva. Este es el caso de la mecánica y la robótica , para describir la dinámica de cuerpos rígidos ; la geodesia, para describir la forma de la Tierra ; la perspectiva , la visión por computadora y los gráficos por computadora , para describir la relación entre una escena y su representación plana; y muchos otros campos científicos.

En todas estas aplicaciones, la geometría sintética se utiliza a menudo para descripciones generales y un enfoque cualitativo, pero para el estudio de situaciones específicas, es necesario calcular con coordenadas . Esto requiere un uso intensivo del álgebra lineal.

La mayoría de los fenómenos físicos se modelan mediante ecuaciones diferenciales parciales . Para resolverlas, se suele descomponer el espacio en el que se buscan las soluciones en pequeñas celdas que interactúan entre sí . Para sistemas lineales , esta interacción implica funciones lineales . Para sistemas no lineales , esta interacción se suele aproximar mediante funciones lineales. ^{[ b ]} Esto se denomina modelo lineal o aproximación de primer orden. Los modelos lineales se utilizan con frecuencia para sistemas complejos no lineales del mundo real porque hacen que la parametrización sea más manejable. ^{[ 31 ]} En ambos casos, generalmente se utilizan matrices muy grandes. La predicción meteorológica (o más específicamente, la parametrización para el modelado atmosférico ) es un ejemplo típico de una aplicación del mundo real, donde toda la atmósfera terrestre se divide en celdas de, digamos, 100  km de ancho y 100  km de alto.

^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}

El álgebra lineal, rama de las matemáticas que estudia los espacios vectoriales y las relaciones lineales entre ellos, desempeña un papel fundamental en diversas disciplinas de la ingeniería, como la mecánica de fluidos , la dinámica de fluidos y los sistemas de energía térmica . Su aplicación en estos campos es multifacética e indispensable para la resolución de problemas complejos.

En mecánica de fluidos , el álgebra lineal es fundamental para comprender y resolver problemas relacionados con el comportamiento de los fluidos. Facilita el modelado y la simulación del flujo de fluidos, proporcionando herramientas esenciales para el análisis de problemas de dinámica de fluidos . Por ejemplo, las técnicas de álgebra lineal se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de fluidos. Estas ecuaciones, a menudo complejas y no lineales , pueden linealizarse mediante métodos de álgebra lineal, lo que permite obtener soluciones y análisis más sencillos.

En el campo de la dinámica de fluidos, el álgebra lineal encuentra aplicación en la dinámica de fluidos computacional (CFD), una rama que utiliza análisis numéricos y estructuras de datos para resolver y analizar problemas relacionados con flujos de fluidos. La CFD se basa en gran medida en el álgebra lineal para el cálculo del flujo de fluidos y la transferencia de calor en diversas aplicaciones. Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes , fundamentales en la dinámica de fluidos , se resuelven frecuentemente mediante técnicas derivadas del álgebra lineal. Esto incluye el uso de matrices y vectores para representar y manipular campos de flujo de fluidos.

Además, el álgebra lineal desempeña un papel crucial en los sistemas de energía térmica , especialmente en el análisis de sistemas eléctricos . Se utiliza para modelar y optimizar la generación, transmisión y distribución de energía eléctrica. Conceptos de álgebra lineal, como las operaciones matriciales y los problemas de valores propios , se emplean para mejorar la eficiencia, la fiabilidad y el rendimiento económico de los sistemas eléctricos . La aplicación del álgebra lineal en este contexto es fundamental para el diseño y la operación de los sistemas eléctricos modernos , incluidas las fuentes de energía renovables y las redes inteligentes .

En general, la aplicación del álgebra lineal en la mecánica de fluidos , la dinámica de fluidos y los sistemas de energía térmica es un ejemplo de la profunda interconexión entre las matemáticas y la ingeniería . Proporciona a los ingenieros las herramientas necesarias para modelar, analizar y resolver problemas complejos en estos campos, lo que conduce a avances en la tecnología y la industria.

La existencia de inversos multiplicativos en cuerpos no está implicada en los axiomas que definen un espacio vectorial. Por lo tanto, se puede reemplazar el cuerpo de escalares por un anillo R , lo que da lugar a la estructura denominada módulo sobre R , o R -módulo.

Los conceptos de independencia lineal, espacio generado, base y aplicaciones lineales (también llamados homomorfismos de módulos ) se definen para módulos exactamente igual que para espacios vectoriales, con la diferencia esencial de que, si R no es un cuerpo, existen módulos que no tienen base. Los módulos que tienen base son los módulos libres , y aquellos que están generados por un conjunto finito son los módulos finitamente generados . Los homomorfismos de módulos entre módulos libres finitamente generados pueden representarse mediante matrices. La teoría de matrices sobre un anillo es similar a la de matrices sobre un cuerpo, excepto que los determinantes existen solo si el anillo es conmutativo , y que una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo es invertible solo si su determinante tiene un inverso multiplicativo en el anillo.

Los espacios vectoriales se caracterizan completamente por su dimensión (salvo isomorfismo). En general, no existe una clasificación tan completa para los módulos, incluso si nos restringimos a módulos finitamente generados. Sin embargo, todo módulo es un conúcleo de un homomorfismo de módulos libres.

Los módulos sobre los números enteros pueden identificarse con los grupos abelianos , ya que la multiplicación por un entero puede considerarse una suma repetida. Gran parte de la teoría de los grupos abelianos puede extenderse a módulos sobre un dominio ideal principal . En particular, sobre un dominio ideal principal, todo submódulo de un módulo libre es libre, y el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados puede extenderse directamente a módulos finitamente generados sobre un anillo principal.

Existen numerosos anillos para los que existen algoritmos que permiten resolver ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Sin embargo, estos algoritmos suelen tener una complejidad computacional mucho mayor que la de algoritmos similares sobre un cuerpo. Para más detalles, consulte Ecuación lineal sobre un anillo .

En álgebra multilineal , se consideran transformaciones lineales multivariables, es decir, aplicaciones que son lineales en cada una de varias variables diferentes. Esta línea de investigación conduce naturalmente a la idea del espacio dual , el espacio vectorial V* que consta de aplicaciones lineales f  : V → F donde F es el cuerpo de escalares. Las aplicaciones multilineales T  : V ⁿ → F se pueden describir mediante productos tensoriales de elementos de V* .

Si, además de la suma de vectores y la multiplicación escalar, existe un producto vectorial bilineal V × V → V , el espacio vectorial se denomina álgebra ; por ejemplo, las álgebras asociativas son álgebras con un producto vectorial asociado (como el álgebra de matrices cuadradas o el álgebra de polinomios).

Los espacios vectoriales que no son de dimensión finita a menudo requieren una estructura adicional para ser manejables. Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial junto con una función llamada norma , que mide el "tamaño" de los elementos. La norma induce una métrica , que mide la distancia entre elementos, e induce una topología , que permite definir aplicaciones continuas. La métrica también permite definir límites y completitud : un espacio vectorial normado completo se conoce como espacio de Banach . Un espacio métrico completo junto con la estructura adicional de un producto interno (una forma sesquilineal simétrica conjugada ) se conoce como espacio de Hilbert , que en cierto sentido es un espacio de Banach particularmente bien comportado. El análisis funcional aplica los métodos del álgebra lineal junto con los del análisis matemático para estudiar diversos espacios de funciones; los objetos centrales de estudio en el análisis funcional son los espacios L ^p , que son espacios de Banach, y especialmente el espacio L ² de funciones de cuadrado integrable, que es el único espacio de Hilbert entre ellos. El análisis funcional es de particular importancia para la mecánica cuántica, la teoría de ecuaciones diferenciales parciales, el procesamiento digital de señales y la ingeniería eléctrica. Además, proporciona los fundamentos y el marco teórico que sustentan la transformada de Fourier y métodos relacionados.

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