Álgebra de Lie lineal

En álgebra, un álgebra de Lie lineal es una subálgebra del álgebra de Lie que consiste en endomorfismos de un espacio vectorial V. En otras palabras, un álgebra de Lie lineal es la imagen de una representación del álgebra de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

Cualquier álgebra de Lie es un álgebra de Lie lineal en el sentido de que siempre hay una representación fiel de (de hecho, en un espacio vectorial de dimensión finita, según el teorema de Ado, si es en sí mismo de dimensión finita). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero y una subálgebra de . Entonces V es semisimple como módulo sobre si y solo si (i) es una suma directa del centro y un ideal semisimple y (ii) los elementos del centro son diagonalizables (sobre algún cuerpo de extensión). ^[1]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Jacobson, Nathan (1979) [1962]. Álgebras de Lie. Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-13679-0.OCLC 867771145  .