Categoría preaditiva

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría preaditiva es otro nombre para una Ab-categoría , es decir, una categoría que se enriquece sobre la categoría de grupos abelianos , ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$. Es decir, una categoría Ab${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ es una categoría tal que cada conjunto de inicios${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$tiene la estructura de un grupo abeliano, y la composición de morfismos es bilineal , en el sentido de que la composición de morfismos se distribuye sobre la operación de grupo. En fórmulas: $${\displaystyle f\circ (g+h)=(f\circ g)+(f\circ h)}$$ y $${\displaystyle (f+g)\circ h=(f\circ h)+(g\circ h),}$$ dónde${\displaystyle +}$es la operación del grupo.

Algunos autores han utilizado el término categoría aditiva para referirse a categorías preaditivas, pero este artículo reserva ese término para ciertas categorías preaditivas especiales (véase el apartado  Casos especiales más adelante).

El ejemplo más obvio de una categoría preaditiva es la categoría${\displaystyle \mathbf {Ab} }$sí mismo. Más precisamente,${\displaystyle \mathbf {Ab} }$es una categoría monoidal cerrada . Nótese que la conmutatividad es crucial aquí; garantiza que la suma de dos homomorfismos de grupo sea también un homomorfismo. Por el contrario, la categoría de todos los grupos no es cerrada. Véase Categoría medial .

Otros ejemplos comunes:

• La categoría de módulos (izquierdos) sobre un anillo${\displaystyle R}$, En particular:
  • la categoría de espacios vectoriales sobre un campo${\displaystyle K}$.
• El álgebra de matrices sobre un anillo, considerada como una categoría tal como se describe en el artículo Categoría aditiva .
• Cualquier anillo, considerado como una categoría con un solo objeto, es una categoría preaditiva. En este caso, la composición de morfismos es simplemente la multiplicación de anillos y el único conjunto de homs es el grupo abeliano subyacente.

Para ver más ejemplos, consulte el apartado §  Casos especiales .

Porque cada hogar${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$es un grupo abeliano, tiene un elemento cero 0. Este es el morfismo cero de${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$Dado que la composición de morfismos es bilineal, la composición de un morfismo cero con cualquier otro morfismo (a ambos lados) debe ser otro morfismo cero. Si consideramos la composición como análoga a la multiplicación, esto significa que la multiplicación por cero siempre resulta en un producto de cero, lo cual es una intuición familiar. Extendiendo esta analogía, el hecho de que la composición sea bilineal en general se convierte en la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma.

Enfocarse en un solo objeto${\displaystyle A}$En una categoría preaditiva, estos hechos dicen que el conjunto hom del endomorfismo${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,A)}$es un anillo , si definimos la multiplicación en el anillo como composición. Este anillo es el anillo de endomorfismos de${\displaystyle A}$. Por el contrario, todo anillo (con identidad ) es el anillo de endomorfismos de algún objeto en alguna categoría preaditiva. En efecto, dado un anillo${\displaystyle R}$, podemos definir una categoría preaditiva${\displaystyle {\mathcal {R}}}$tener un solo objeto${\displaystyle A}$, dejar${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,A)}$ser${\displaystyle R}$y sea la composición multiplicación de anillos. Dado que${\displaystyle R}$es un grupo abeliano y la multiplicación en un anillo es bilineal (distributiva), esto hace que${\displaystyle {\mathcal {R}}}$una categoría preaditiva. Los teóricos de categorías a menudo pensarán en el anillo${\displaystyle R}$y la categoría${\displaystyle {\mathcal {R}}}$como dos representaciones diferentes de la misma cosa, de modo que un teórico de categorías particularmente perverso podría definir un anillo como una categoría preaditiva con exactamente un objeto (de la misma manera que un monoide puede ser visto como una categoría con un solo objeto, y olvidando la estructura aditiva del anillo obtenemos un monoide).

De esta forma, las categorías preaditivas pueden considerarse una generalización de los anillos. Muchos conceptos de la teoría de anillos, como ideales , radicales de Jacobson y anillos de factores , pueden generalizarse fácilmente a este contexto. Al intentar formular estas generalizaciones, conviene pensar en los morfismos de la categoría preaditiva como los «elementos» del «anillo generalizado».

Si${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$son categorías preaditivas, entonces un functor${\displaystyle F:C\rightarrow D}$es aditivo si también se enriquece con respecto a la categoría.${\displaystyle \mathbf {Ab} }$. Eso es,${\displaystyle F}$es aditivo si y solo si , dado cualquier objeto${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$de${\displaystyle C}$, la función${\displaystyle F:{\text{Hom}}(A,B)\rightarrow {\text{Hom}}(F(A),F(B))}$es un homomorfismo de grupo . La mayoría de los functores estudiados entre categorías preaditivas son aditivos.

Por ejemplo sencillo, si los anillos${\displaystyle R}$y${\displaystyle S}$están representadas por las categorías preaditivas de un solo objeto${\displaystyle C_{R}}$y${\displaystyle C_{S}}$, luego un homomorfismo de anillos de${\displaystyle R}$a${\displaystyle S}$está representado por un functor aditivo de${\displaystyle C_{R}}$a${\displaystyle C_{S}}$y viceversa.

Si${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$son categorías y${\displaystyle D}$es preaditivo, entonces la categoría de functores${\displaystyle D^{C}}$También es preaditivo, porque las transformaciones naturales se pueden agregar de forma natural. Si${\displaystyle C}$es preaditivo también, entonces la categoría${\displaystyle {\text{Agregar}}(C,D)}$La relación entre functores aditivos y todas las transformaciones naturales entre ellos también es preaditiva.

El último ejemplo conduce a una generalización de módulos sobre anillos: Si${\displaystyle C}$es una categoría preaditiva, entonces${\displaystyle {\text{Mod}}(C)\mathbin {:=} {\text{Add}}(C,Ab)}$se denomina categoría de módulo sobre${\displaystyle C}$. Cuando${\displaystyle C}$es la categoría preaditiva de un objeto correspondiente al anillo${\displaystyle R}$, esto se reduce a la categoría ordinaria de (izquierda)${\displaystyle R}$-módulos . De nuevo, prácticamente todos los conceptos de la teoría de módulos pueden generalizarse a este contexto.

De manera más general, se puede considerar una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$enriquecido sobre la categoría monoidal de módulos sobre un anillo conmutativo${\displaystyle R}$, llamado un${\displaystyle R}$-categoría lineal . En otras palabras, cada conjunto de hom${\displaystyle {\text{Hom}}(A,B)}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$tiene la estructura de un${\displaystyle R}$-módulo, y la composición de morfismos es${\displaystyle R}$-bilineal.

Al considerar functores entre dos${\displaystyle R}$-categorías lineales, uno a menudo se restringe a aquellas que son${\displaystyle R}$-lineal, por lo que aquellos que inducen${\displaystyle R}$-mapas lineales en cada conjunto de inicios.

Todo producto finito en una categoría preaditiva debe ser también un coproducto , y viceversa. De hecho, los productos finitos y los coproductos en categorías preaditivas pueden caracterizarse por la siguiente condición de biproducto :

El objeto${\displaystyle B}$es un subproducto de los objetos${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$si y solo si existen morfismos de proyección${\displaystyle \pi _{j}:B\to A_{j}}$y morfismos de inyección${\displaystyle \iota _{j}:A_{j}\to B}$, de tal manera que${\displaystyle (\iota _ {1}\circ \pi _ {1})+\cdots +(\iota _ {n}\circ \pi _ {n})}$es el morfismo identidad de${\displaystyle B}$,${\displaystyle \pi _{j}\circ \iota _{j}}$es el morfismo identidad de${\displaystyle A_{j}}$, y${\displaystyle \pi _{j}\circ \iota _{k}}$es el morfismo cero de${\displaystyle A_{k}}$a${\displaystyle A_{j}}$cuando sea${\displaystyle j}$y${\displaystyle k}$son distintos .

Este subproducto se escribe a menudo${\displaystyle A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$, tomando prestada la notación para la suma directa . Esto se debe a que el biproducto en categorías preaditivas bien conocidas como${\displaystyle \mathbf {Ab} }$es la suma directa. Sin embargo, aunque las sumas directas infinitas tienen sentido en algunas categorías, como${\displaystyle \mathbf {Ab} }$, los biproductos infinitos no tienen sentido (véase Categoría de grupos abelianos §  Propiedades ).

La condición de subproducto en el caso${\displaystyle n=0}$simplifica drásticamente;${\displaystyle B}$es un biproducto nulo si y solo si el morfismo identidad de${\displaystyle B}$es el morfismo cero de${\displaystyle B}$a sí mismo, o equivalentemente si el conjunto de inicio${\displaystyle \mathrm {Hom} (B,B)}$es el anillo trivial . Nótese que, dado que un biproducto nulo será tanto terminal (un producto nulo) como inicial (un coproducto nulo), de hecho será un objeto cero . En efecto, el término "objeto cero" se originó en el estudio de categorías preaditivas como${\displaystyle \mathbf {Ab} }$, donde el objeto cero es el grupo cero .

Una categoría preaditiva en la que existe todo subproducto (incluido el objeto cero) se denomina aditiva . En la sección correspondiente se pueden encontrar más datos sobre subproductos, especialmente útiles en el contexto de las categorías aditivas.

Debido a que los conjuntos hom en una categoría preaditiva tienen morfismos cero, la noción de núcleo y conúcleo tiene sentido. Es decir, si${\displaystyle f:A\to B}$es un morfismo en una categoría preaditiva, entonces el núcleo de${\displaystyle f}$es el ecualizador de${\displaystyle f}$y el morfismo cero de${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$, mientras que el co-núcleo de${\displaystyle f}$es el co-igualador de${\displaystyle f}$y este morfismo cero. A diferencia de con productos y coproductos, el núcleo y el co-núcleo de${\displaystyle f}$Generalmente no son iguales en una categoría preaditiva.

Al especializarse en las categorías preaditivas de grupos o módulos abelianos sobre un anillo, esta noción de núcleo coincide con la noción ordinaria de núcleo de un homomorfismo, si se identifica el núcleo ordinario.${\displaystyle K}$de${\displaystyle f:A\to B}$con su incrustación${\displaystyle K\to A}$Sin embargo, en una categoría preaditiva general pueden existir morfismos sin núcleos y/o conúcleos.

Existe una relación conveniente entre el núcleo y el conúcleo y la estructura de grupo abeliano en los conjuntos de hom. Dados los morfismos paralelos${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$, el igualador de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$es solo el núcleo de${\displaystyle gf}$Si existe alguno de ellos, y lo mismo ocurre con los coecualizadores. El término alternativo "núcleo de diferencia" para los ecualizadores binarios se deriva de este hecho.

Una categoría preaditiva en la que existen todos los biproductos, núcleos y conúcleos se denomina preabeliana . En la sección correspondiente se pueden encontrar más datos sobre núcleos y conúcleos en categorías preaditivas, especialmente útiles en el contexto de las categorías preabelianas.

La mayoría de estos casos especiales de categorías preaditivas ya se han mencionado anteriormente, pero se recopilan aquí a modo de referencia.

• Un anillo es una categoría preaditiva con exactamente un objeto.
• Una categoría aditiva es una categoría preaditiva con todos los subproductos finitos.
• Una categoría preabeliana es una categoría aditiva con todos los núcleos y conúcleos.
• Una categoría abeliana es una categoría preabeliana tal que todo monomorfismo y epimorfismo es normal .

Las categorías preaditivas más estudiadas son, de hecho, categorías abelianas; por ejemplo,${\displaystyle \mathbf {Ab} }$es una categoría abeliana.

• Nicolae Popescu ; 1973; Categorías abelianas con aplicaciones a anillos y módulos ; Academic Press, Inc.; agotado
• Charles Weibel ; 1994; Introducción al álgebra homológica ; Cambridge Univ. Press